Lumenia

MATEMATIKK 1

Elkem søker unge mennesker som ønsker å jobbe med fornybare energiløsninger og miljøansvarlige materialer. Vårt 2-årige traineeprogram legger til rette for personlig og faglig utvikling gjennom utfordrende arbeidsoppgaver og prosjekter. Du følges opp av en fadder og jobber kontinuerlig med en egen utviklingsplan. For dyktige og motiverte kandidater kan programmet danne et godt grunnlag for videre utviklingsmuligheter i Elkem.

Sponsor

Trainee i Elkem

Elkem har også en økonomi-rettet traineeordning — se eigen nettside om Business Analyst-programmet.

Når og hvor søker jeg?

Rekrutteringsprosessen går hver høst. I oktober kan du registrere din trainee-søknad elektronisk på karrieresidene under www.elkem.com. Her kan du i tillegg få en oversikt over andre ledige stillinger hos oss.

Vi ønsker at du har følgende kvalifikasjoner

▸ 5.års student/nyutdannet sivilingeniør med gode akademiske resultater, gjerne innen materialteknologi, uorganisk kjemi, kybernetikk, produktutvikling og produksjon, nanoteknologi eller fysikk
▸Behersker engelsk godt, skriftlig og muntlig
▸Gode samarbeidsevner
▸Initiativrik og ansvarlig
▸Fleksibel i forhold til oppgaver og mobilitet

Om traineeprogrammet

Informasjon om traineeprogrammet finner du på elkem.com og nettsidene om traineeordningen. Der er det også en blogside med innlegg fra traineene.

Besøk gjerne på stand under Materialdagen og Kjemidagen på NTNU, eller når vi er tilstede på andre industri- og karrieredager. Ønsker du å vite mer om programmet og Elkem finner du kontaktinformasjon på nettsiden for traineeordningen!

Søk traineeprogram

Forord

Dette kompendiet er et lærehefte som prøver å gi en lettfattet, men grundig innføring i faget TMA4400 Matematikk 1 ved NTNU, som omfatter énvariabel kalkulus og en del grunnleggende lineær algebra. Kompendiet dekker alle de sentrale sidene ved faget og gir eksamensrettede eksempler med fokus på forståelse og anvendelse. Likevel er det ikke en erstatning for den gjeldende pensumboken eller forelesningene, men kan fungere som et springbrett til å forstå og anvende sentrale konsepter.

Det er en forutsetning at du allerede har hatt kombinasjonen Matematikk R1 + R2, eller tilsvarende, før du tar dette emnet, og at du for øvrig kan dra nytte av kompendiet.

Mange av oppgavene i kompendiet er fra tidligere eksamener i TMA4100 Matematikk 1 og TMA4100/TMA4115 Matematikk 3. Underveis i kompendiet er det gjennomgang av metoder og tips til hvordan en kan løse typiske eksamensoppgaver. På slutten av kompendiet er det en kort oppsummering med formler og andre nyttige sammenhenger det er greit å kjenne til.

Stoff med (typisk) lav eksamensrelevans, herunder beviser og enkelte rigorøse definisjoner, er i stor grad utelatt. MERK! Det kan være enkelte mangler knyttet til pensumstoffet, da dette kompendiet er skrevet før faget har blitt undervist. I tillegg kan det finnes eksempeloppgaver som ikke er dekket her, men som likevel er eksamensrelevante. Det anbefales derfor at du også bruker emnets øvrige ressurser for alt det er verdt. Ikke glem at mengdetrening er måten flest lærer best på!

Lykke til med eksamen!

Skrevet av Herman Songe-Aakre og Ylva Schüch.

Kapittel 1

Komplekse tall

Komplekse tall kan virke forvirrende og nytt, men de har mange likheter med vanlige tall. Grunnen til at det blir introdusert tidlig, er at det har mange bruksområder.

1.1 Den imaginære enheten og det komplekse plan

Når man skal løse ligninger når man et punkt der de reelle tallene ikke strekker til. Ta for eksempel ligningen $x^2 = -1$. Denne ligningen er umulig å løse i $\mathbb{R}$ ettersom det ikke finnes reelle tall som, opphøyd i annen, er mindre enn null.

I dette kapittelet introduserer vi tall som løser slike ligninger, og vi vil da ha en «komplett» samling med tall som kan brukes til å løse alle ligninger. Den største forskjellen er at de består av to deler – en imaginær del og en reell del.

Den imaginære enheten $i$ er svaret på spørsmålet «hva er kvadratroten av $-1$?». Den er definert slik at $i^2 = -1$. På en måte har vi prøvd å finne en løsning på ligningen $x^2 = -1$, og funnet opp et tall $i$ som er en løsning.

Tallet $i$ er utenfor den reelle tallinjen. Om man plusser tallet $i$ med for eksempel tallet 2 så får man tallet $2 + i$. Dette er ikke et reelt tall og det ligger i det såkalte komplekse planet. Et komplekst tall er definert som $z = a + bi$ hvor $a$ og $b$ er reelle tall.

Det komplekse planet med tallet $2 + i$ plassert.

Når vi skriver $z = a + bi$ så ligner dette på koordinater og kalles for den kartesiske formen til et komplekst tall. Vi skal senere se på en nyttig måte å skrive komplekse tall på som kalles for polarformen til et komplekst tall.

1.2 Operasjoner på komplekse tall

La $z = a+bi$ og $w = c+di$ være komplekse tall. Her er reglene for de fire operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

Addisjon

\[z + w = a + bi + c + di = (a+c) + (b+d)i\]

Subtraksjon

\[z - w = a + bi - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\]

Multiplikasjon og divisjon

z \cdot w = ac - bd + (bc + ad)i

\frac{z}{w} = \frac{ac + bd + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

Eksempel: Multiplikasjon og divisjon

Ta $z = 3 + 4i$ og $w = 1 - 2i$. Da har vi $a=3,\ b=4,\ c=1$ og $d=-2$.

z \cdot w = (3+4i)(1-2i) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot(-2) + (4 \cdot 1 + 3 \cdot(-2))i = 11 - 2i

Vi kan også regne ut $\tfrac{z}{w}$ ved hjelp av formelen for divisjon:

\frac{z}{w} = \frac{3+4i}{1-2i} = \frac{3 \cdot 1 + 4 \cdot(-2) + (4 \cdot 1 - 3 \cdot(-2))i}{1^2+(-2)^2} = \frac{-5+10i}{5} = -1+2i

Konjugerte komplekse tall

La $z = a + bi$ være et komplekst tall. Da har vi $\bar{z} = a - bi$ (hvor $\bar{z}$ leses «z konjugert»). $\bar{z}$ er tallet man får ved å speile tallet $z$ over den reelle tallinjen.

Regneregler for konjugerte tall

\overline{z+w} = \bar{z}+\bar{w} \qquad \overline{z-w} = \bar{z}-\bar{w}\] \[\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w} \qquad \overline{z/w} = \bar{z}/\bar{w}\] \[z + \bar{z} = 2a \qquad z - \bar{z} = 2bi

1.3 Komplekse tall på polarform

En annen måte å skrive komplekse tall på, er polarform, som kanskje er en mer geometrisk og intuitiv form enn den kartesiske formen. Polarform kan spare mye tid, særlig når det gjelder multiplikasjon og divisjon.

Komplekse tall på polarform

Et komplekst tall på polarform skrives $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

• $r$ er avstanden fra origo til tallet på det komplekse planet.

• $\theta$ er rotasjonen (eller vinkelen) til tallet i det komplekse planet.

Det komplekse planet med enhetssirkelen.

Merk: Når vi snakker om rotasjon bruker vi både grader $^\circ$ og radianer. $2\pi \approx 360°$, $\pi \approx 180°$, $\frac{\pi}{2} \approx 90°$ osv. Radianer er det vanligste når det kommer til komplekse tall.

1.4 Konvertere til og fra polarform

Ved hjelp av Pythagoras' setning kan man enkelt konvertere fra polarform til kartesisk (rektangulær) form.

Metode: Skrive på kartesisk form

La $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. For å konvertere til kartesisk form $z = a + bi$:

a = r\cos\theta \qquad b = r\sin\theta

Metode: Skrive på polarform

For å konvertere fra kartesisk form $z = a + bi$ til polarform $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$:

r = \sqrt{a^2+b^2}

\theta = \begin{cases} \arctan\dfrac{b}{a} & \text{for } a > 0 \\ \arctan\dfrac{b}{a} + \pi & \text{for } a < 0 \\ \pi/2 & \text{for } a=0,\ b>0 \\ 3\pi/2 & \text{for } a=0,\ b<0 \end{cases}

Eulers formel

Eulers formel ligger veldig nært polarform. I stedet for å skrive $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ så skriver vi $z = re^{i\theta}$. Det betyr det samme, men på grunn av regnereglene for potenser er det enda lettere å multiplisere og dividere på polarform.

Definisjon: Eulers formel

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Teorem: Multiplikasjon med Eulers formel

e^{i\theta} \cdot e^{i\alpha} = e^{i(\theta+\alpha)} \quad \text{for } \theta,\alpha \in \mathbb{R}

Multiplikasjon av komplekse tall ved hjelp av Eulers formel

La $z = re^{i\theta}$ og $w = se^{i\alpha}$. Da har vi:

z \cdot w = rs\,e^{i(\theta+\alpha)} \qquad \frac{z}{w} = \frac{r}{s}\,e^{i(\theta-\alpha)}

Å gange tallene sammen er det samme som å plusse sammen rotasjonene og gange lengdene.

Eksempel: Multiplikasjon med Eulers formel

Regn ut $(1+i)^4$.

Først skriver vi $1+i$ på polarform. Vi har $a=1,\ b=1$, som gir:

r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, \quad \theta = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}

Altså $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. Dermed:

(1+i)^4 = \left(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\right)^4 = (\sqrt{2})^4 \cdot e^{i\pi/4 \cdot 4} = 4\,e^{i\pi}

Tilbake på kartesisk form:

a = 4\cos\pi = -4, \quad b = 4\sin\pi = 0

Dermed har vi $(1+i)^4 = -4$.

1.5 Metoder for løsning av eksamensoppgaver

Vi så nettopp at multiplikasjon av komplekse tall innebærer rotasjon. Denne rotasjonen forklarer noe som er viktig når man skal skissere løsninger på en ligning i to ledd av formen $z^n = a$: punktene er spredt rundt likt i en sirkel.

Metode: Finn alle røttene og skisser dem, to ledd

1. Om $z^n$ er på samme side som $a$, flytt om slik at vi har $z^n = a$ eller $z^n = -a$.

2. Uansett hvordan $a$ ser ut, skriv $a$ på Eulers form $re^{i\theta}$, som også er lik $re^{i\theta + 2\pi i k}$.

3. Opphøy i $1/n$ for å få $z = \sqrt[n]{r}\,e^{i\theta/n + 2\pi i k/n}$. Regn ut for $k=0,1,\ldots,n-1$.

4. Tegn første rot og roter med $\frac{2\pi}{n}$ i en sirkel for å tegne resten.

Algebraens fundamentalteorem

Et polynom $z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ kan alltid faktoriseres som

\prod_{i=1}^{n}(z-z_i) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)

der $z_i \in \mathbb{C}$ er løsninger av ligningen $z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z + a_0 = 0$.

En $n$-te grads ligning har alltid $n$ løsninger.

Metode: Finn alle røttene og skisser dem, polynom

1. Om det er fjerdegradsligning med tre ledd, skriv $w = z^2$.

2. Om det er tredjegradsligning, finn én løsning $z_0$ (nesten alltid $-2,-1,1$ eller $2$) og faktoriser: $(az^2+bz+c)(z-z_0)=0$.

3. Løs andregradsligningen med abc-formelen. Om ligningen var i fjerde grad, løs for $w$ og finn $z_0 = +\sqrt{w_1},\ z_1 = -\sqrt{w_1},\ z_2 = +\sqrt{w_2},\ z_3 = -\sqrt{w_2}$.

4. Skisser løsningene ved hjelp av rutenett i det komplekse planet.

1.6 Eksamensrettede oppgaver

La $p(z) = z^3 + 27$. Finn alle røttene til $p(z)$, skriv røttene på standardform og skissér røttene i det komplekse planet.
Finn alle løsningene til $(z^2 + iz + 6)(z-1) = 0$ for $z \in \mathbb{C}$ og skissér disse i det komplekse planet.
Finn alle komplekse tall $z$ som oppfyller ligningen $(z+1)\overline{(z+1)} = (z+i)\overline{(z+i)}$. Skissér alle løsninger $z$ i det komplekse planet.

▶ Løsningsforslag

Eksempeloppgave 1

Vi ser at det er to ledd og bruker metoden for to ledd. Da skriver vi $z^3 = -27$.

Skriv $-27$ på polarform: $r = \sqrt{(-27)^2} = 27$ og $\theta = \arctan\frac{0}{-27}+\pi = \pi$. Dermed $-27 = 27e^{\pi i}$.

z^3 = 27e^{\pi i + 2\pi ik}, \quad z = 3\,e^{\pi i/3 + 2\pi ik/3}

For $k=0,1,2$:

z_0 = 3e^{\pi i/3} = \tfrac{3}{2} + \tfrac{3\sqrt{3}}{2}i, \quad z_1 = 3e^{\pi i} = -3, \quad z_2 = 3e^{5\pi i/3} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2}i

Eksempeloppgave 2

Vi har $z_0 = 1$ som én løsning fra faktoren $(z-1)$. Løs $z^2 + iz + 6 = 0$ med abc-formelen:

z = \frac{-i \pm \sqrt{i^2 - 24}}{2} = \frac{-i \pm \sqrt{-25}}{2} = \frac{-i \pm 5i}{2}

z_1 = \frac{-i+5i}{2} = 2i, \quad z_2 = \frac{-i-5i}{2} = -3i

Løsningene er $z = 1,\; z = 2i,\; z = -3i$.

Eksempeloppgave 3

Skriv $z = a + bi$ og regn ut:

\[(a+bi+1)(a-bi+1) = (a+bi+i)(a-bi-i)\]

\[(a+1)^2 + b^2 = a^2 + (b+1)^2\]

a^2+2a+1+b^2 = a^2+b^2+2b+1 \implies 2a = 2b \implies a = b

Løsningene er $z = a + ai$ for alle $a \in \mathbb{R}$ — en linje gjennom origo med stigning 1 i det komplekse planet.

Kapittel 2

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

I dette kapittelet skal vi se på hva lineære ligninger og ligningssystemer er, og hvordan man bruker metoden gausseliminasjon for å løse disse systemene.

2.1 Lineære ligninger

Definisjon: Lineær ligning

Lineære ligninger er ligninger av formen

a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b

der $x_1,x_2,\ldots,x_n$ er ukjente variabler og $a_1,a_2,\ldots,a_n$ og $b$ er reelle tall. En lineær ligning som er brukt mye på videregående skole er $y = ax + b$, som beskriver en rett linje.

2.2 Lineære ligningssystemer

Et ligningssystem består av flere lineære ligninger. Å løse et ligningssystem handler om å finne ut av hvilke verdier variablene må og kan ta for at alle ligningene skal være sanne samtidig.

Løsningen på et ligningssystem med to lineære ligninger kan være punktet der to linjer krysser, siden det bare er på det punktet begge ligningene er sanne. Det kan også være mulig at linjene ikke krysser (at de er parallelle) eller at de ligger oppå hverandre. Da ser vi at det kan være ingen løsninger, én løsning eller uendelig mange løsninger.

Eksempel: Lineære ligningssystem med to ligninger

              \(\{-x+y=2,\; -x+y=1\}\)
            

Parallelle linjer,
ingen løsning

              \(\{-x+y=1,\; x+y=1\}\)
            

Linjene krysser,
én løsning

              \(\{-x+y=1,\; -x+y=1\}\)
            

Linjene er oppå
hverandre, ∞ løsninger

Hvis man går opp til tre dimensjoner kan vi for eksempel ha et todimensjonalt plan som møter en linje. Løsningene er på samme måte alle punktene der planet og linjen møtes. Gaussisk eliminasjon er et verktøy som gjør det enkelt å løse ligningssystemer uavhengig av hvilken dimensjon de er i.

2.3 Skrive ligningssystemer som matrise

Når man skal skrive ligningssystemer som en såkalt totalmatrise skriver man over koeffisientene fra ligningssystemet.

Eksempel: Fra ligningssystem til totalmatrise

Vi begynner med et ligningssystem bestående av to ligninger.

\begin{cases} -3x_1 + 7x_2 = 2 \\ x_1 + 3x_2 = 5 \end{cases}

Vi kan skrive dette ligningssystemet som en matrise:

−3	7	\|	2
1	3	\|	5

Merk at vi ikke må ha en strek for å dele variablene og de konstante tallene, men konstante tall må alltid stå til høyre i matrisen.

Eksempel: Fra homogent ligningssystem til totalmatrise

\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \\ 4x_1 + 5x_2 + 7x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}

2	3	1	\|
4	5	7	\|
1	4	2	\|

Når vi har et homogent system kan vi droppe kolonnen til høyre der det bare er nuller.

2.4 Gaussisk eliminasjon

Vi kaller operasjonene vi kan bruke på ligningssystemer for radoperasjoner. Disse utfører vi på totalmatrisen til systemet og de brukes for å finne løsninger ved hjelp av gausseliminasjon.

Radoperasjoner

Det er tre radoperasjoner vi bruker til å løse ligningssystemer:

1. Gang en rad med et tall som ikke er null.

2. Bytt to rader.

3. Legg til et multiplum av en rad til en annen rad.

Løsningene til ligningssystemet endres ikke når vi bruker radoperasjoner. Matriser som er relatert ved radoperasjoner sies å være radekvivalente.

Definisjon: Pivotelement

Pivotelementet i en rad er tallet lengst til venstre i en rad som ikke er 0.

Definisjon: Trappeform

En matrise sies å være på trappeform om pivotelementet i hver rad er lenger til høyre enn i raden over.

1	5	9
0	2	3
0	0	1

Pivotelementer uthevet i grønt.

Definisjon: Redusert trappeform

Vi sier at en matrise er på redusert trappeform om den, i tillegg til å være på trappeform, er slik at alle tall som står over pivotelementer er lik 0. Alle matriser kan skrives på redusert trappeform.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Definisjon: Frie variabler

På redusert trappeform kaller vi variabler som står i kolonner hvor det ikke er pivotelementer, for frie variabler.

Metode: Gaussisk eliminasjon

1. Finn en rad som har et tall $a$ i første kolonne. Flytt denne raden øverst.

2. Multipliser denne raden med $\frac{1}{a}$ for å få raden til å ha 1 som første tall.

3. Subtraher denne raden fra radene under slik at første kolonnen bare har nuller bortsett fra øverste rad.

4. Gjenta for de andre kolonnene (de resterende radene skal under hverandre for å danne en «trapp»).

Metode: Finn løsninger til et system

1. Skriv totalmatrisen til systemet.

2. Bruk gausseliminasjon for å få matrisen på trappeform og deretter redusert trappeform.

3. Det er nå tre muligheter:

Tilfelle 1: Vi har en rekke med en konstant $b_i \neq 0$ på høyre side mens alle andre variabler er 0 → Ingen løsning.

Tilfelle 2: Ingen frie variabler → Én løsning.

Tilfelle 3: Frie variabler → Uendelig mange løsninger. Identifiser frie variabler og uttrykk resten av variablene utifra de frie variablene.

2.5 Eksamensrettede oppgaver

Finn alle løsningene til det lineære ligningssystemet: $\begin{cases} x - y - 3z = 2 \\ -x + 2y + 5z = -1 \\ 3x + 3y + 3z = 12 \end{cases}$
For hvilke $a$ har ligningssystemet $\begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ -3x - 4y + z = 0 \\ 4x + 9y + (2a^2+4)z = 2a+9 \end{cases}$ én løsning, ingen løsninger og uendelig antall løsninger?

Kapittel 3

Vektorligninger

Vektorer er en essensiell del av lineær algebra. Vektorer har mange nyttige egenskaper. Blant annet er det mulig å visualisere dem i to og tre dimensjoner. Vektorligninger er en annen måte å skrive lineære systemer på. I dette kapittelet er lineærkombinasjoner og spenn av vektorer spesielt viktig.

3.1 Vektorregning

Vektorer kan beskrives på mange forskjellige måter. Den eneste måten vi trenger å tenke på her er kolonnevektorer. Alle kolonnevektorer skrives på samme måte som x nedenfor. Om det er $n$ rader sier vi at x er en vektor i $\mathbb{R}^n$, altså i $n$-te dimensjon.

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}

Det er to hovedoperasjoner vi skal bruke på vektorer: skalarmultiplikasjon og addisjon.

Definisjon: Skalarmultiplikasjon og addisjon

Skalarmultiplikasjon er å gange lengden til en vektor med en skalar (et tall). Selve retningen til vektoren forblir den samme. Når vi ganger med en skalar $a \in \mathbb{R}$ multipliserer vi hvert tall i vektoren med $a$:

a\mathbf{x} = \begin{bmatrix} ax_1 \\ ax_2 \\ \vdots \\ ax_m \end{bmatrix}

Addisjon av vektorer innebærer enkelt nok å plusse sammen hvert av elementene i vektorene:

\mathbf{x} + \mathbf{y} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ \vdots \\ x_m+y_m \end{bmatrix}

Addisjon og skalarmultiplikasjon sammen kan gi oss en lineærkombinasjon:

a\mathbf{x} + b\mathbf{y} = \begin{bmatrix} ax_1+by_1 \\ ax_2+by_2 \\ \vdots \\ ax_m+by_m \end{bmatrix}

Definisjon: Lineærkombinasjon

En lineærkombinasjon av en mengde vektorer $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ er en kombinasjon av skalering med ulike skalarer $c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R}$ og addisjon av vektorene:

c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n\mathbf{x}_n

Definisjon: Spenn

Spennet til $n$ vektorer $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ er mengden av alle vektorer $\mathbf{v}$ vi kan skrive på formen $\mathbf{v} = c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_n\mathbf{x}_n$ hvor $c_1, c_2, \ldots, c_n$ er tall. Det er altså alle mulige lineærkombinasjoner av vektorene $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$. Vi skriver denne mengden som $\text{Sp}\{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n\}$.

Eksempel: Spenn

Vi sier at $\mathbf{v} = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ er i spennet til vektorene $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ og $\mathbf{y} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ fordi vi kan skrive v som en lineærkombinasjon av vektorene x og y:

\mathbf{v} = -2\mathbf{x} + 3\mathbf{y} = -2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2+3\\2+0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}

3.2 Vektorligninger

Alle ligningssystemer vi bruker kan oversettes til vektorligninger. Vi har allerede sett hvordan et ligningssystem kan skrives som en totalmatrise. Om vi tar kolonnene til denne matrisen hver for seg så har vi en vektorligning med $n$ vektorer.

Eksempel: Matrise som vektorligning

Vi har matrisen $A = \begin{bmatrix}2&3&4&2\\5&1&-1&3\\3&4&3&-2\end{bmatrix}$ som tilhører et ligningssystem. Nedenfor har den blitt skrevet som en vektorligning:

x_1\begin{bmatrix}2\\5\\3\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\\1\\4\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}4\\-1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\3\\-2\end{bmatrix}

Kapittel 4

Matriser

Vi har allerede brukt totalmatriser til ligningssystemer når vi jobbet med gausseliminering. I dette kapittelet skal vi lære mer om matriser, som er en ny type matematisk objekt som har utrolig mange bruksområder.

4.1 Definisjon og notasjon

Matriser er nokså like vektorer og er en form for vektorrekke, flere vektorer satt sammen.

Definisjon: Matrise

En $m \times n$-matrise $A$ er en tabell med tall hvor det er $m$ tall i høyden og $n$ tall i bredden:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Vi sier da at $A$ har $n$ kolonner og $m$ rader.

Definisjon: Kvadratisk matrise

En kvadratisk matrise har dimensjoner $n \times n$, hvor $n \in \mathbb{N}$.

Kolonnene til en matrise kan tolkes som vektorer. Vi kan skrive $A = \begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n\end{bmatrix}$.

4.2 Matriseoperasjoner

Addisjon og skalering av matriser er logisk og meget likt addisjon og skalering med vektorer.

Definisjon: Matriseaddisjon

To matriser $A$ og $B$ av samme dimensjon summeres ved å addisjonere ett og ett element:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}

Definisjon: Skalering av en matrise

Når vi skalerer med en skalar $c$ ganges hvert element i matrisen med skalaren:

cA = \begin{bmatrix} c \cdot a_{11} & \cdots & c \cdot a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c \cdot a_{m1} & \cdots & c \cdot a_{mn} \end{bmatrix}

Definisjon: Skalarprodukt

Tar vi to vektorer $\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{bmatrix}$ og $\mathbf{b} = \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix}$ så har vi skalarproduktet:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

Definisjon: Matrisemultiplikasjon

La $A$ være en $m \times n$-matrise med rader $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_m$, og la $B$ være en $n \times p$-matrise med kolonner $\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_p$. Da har vi matriseproduktet $AB$, en $m \times p$-matrise:

AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1\mathbf{b}_p \\ \mathbf{a}_2\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2\mathbf{b}_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m\mathbf{b}_p \end{bmatrix}

Merk: $AB \neq BA$ generelt. $A$ må være $m \times n$ og $B$ må være $n \times p$ for at multiplikasjonen skal være mulig.

Eksempel: Multiplikasjon av matriser

La $A = \begin{bmatrix}2&1\\0&-1\end{bmatrix}$ og $B = \begin{bmatrix}-3&1\\4&5\\2&2\end{bmatrix}$. Vi kan kun regne ut $BA$ (ikke $AB$):

BA = \begin{bmatrix}-3&1\\4&5\\2&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-6&-4\\8&-1\\4&0\end{bmatrix}

4.3 Matriseligninger

Forskjellen med matriseligninger er at vi inkluderer variablene i en egen vektor og skriver systemet som produktet av en koeffisientmatrise $A$ og en vektor med variabler x lik en vektor med konstante tall b.

Metode: Fra ligningssystem til matriseligning $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

Vi har et ligningssystem med variabler $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Variablene skrives i en kolonnevektor og koeffisientene skrives i en matrise $A$:

\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}

Vi kan skrive dette kompakt som $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

4.4 Transponering

Transponering er som å speile matrisen over diagonalen.

Definisjon: Transponering av en matrise

Hvis $A$ er en $m \times n$-matrise så er den transponerte matrisen til $A$, kalt $A^T$, den matrisen der radene til $A^T$ er kolonnene til $A$ (i samme rekkefølge).

(A^T)^T = A \qquad (AB)^T = B^T A^T

4.5 Identitetsmatriser og nullmatrisen

Definisjon: Identitetsmatrise

Identitetsmatrisen $I_n$ er den kvadratiske $n \times n$-matrisen hvor alle tallene er lik null bortsett fra tallene på diagonalen som er lik 1:

I_n = \begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}

Vi har for alle $n \times n$-matriser $A$ at $A \times I_n = A = I_n \times A$. $I_n$ skrives ofte som $I$.

Definisjon: Nullmatrise

Nullmatrisen $\mathbf{0}_{mn}$ er $m \times n$-matrisen hvor alle tallene er lik 0. Vi skriver ofte 0 for vektoren der alle tallene er lik null.

4.6 Inverser

Tallet $7^{-1} = \frac{1}{7}$ er en invers av 7 fordi $7^{-1} \cdot 7 = 1$. På samme måte har vi inverser til matriser.

Definisjon: Invers til en matrise

Dersom $A$ er inverterbar kaller vi inversen $A^{-1}$ til $n \times n$-matrisen $A$ den unike kvadratiske matrisen slik at:

AA^{-1} = I = A^{-1}A

Teorem: Invertere matriseprodukt

Om vi har to ulike $n \times n$-matriser $A$ og $B$ som begge er inverterbare så har vi:

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Merk at rekkefølgen endres.

Teorem: Løsning til ligningssystem ved inverterbarhet

Hvis $A$ er inverterbar har ligningen $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ kun én løsning, nemlig $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

4.7 Beregning av inverser

Når vi skal regne ut inverser av matriser bruker vi en metode som kan finne inversen til enhver matrise ved hjelp av gausseliminasjon. For $2 \times 2$-matriser har vi en egen formel.

Metode: Beregn inversen til en matrise

Vi blir gitt en $n \times n$-matrise $A$ og vil regne ut inversen $A^{-1}$ (om den eksisterer).

1. Sett opp systemet $\begin{bmatrix} A \mid I_n \end{bmatrix}$

2. Bruk gausseliminasjon for å skrive $A$ på redusert trappeform, og utfør de samme radoperasjonene på $I_n$. Resultatet blir $\begin{bmatrix} I_n \mid A^{-1} \end{bmatrix}$.

Formel for invertering av $2 \times 2$-matrise

Om vi har $A = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ så har vi:

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

4.8 Eksamensrettede oppgaver

Gitt matrisene $A = \begin{bmatrix}1&1&1\\2&1&1\\2&2&1\end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\0&1&-1\end{bmatrix}$ Bestem en matrise $X$ slik at $AX = B$.
Finn matrisen $A$ som tilfredsstiller ligningen $\begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\2&-2&-1\end{bmatrix} A \begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&1\\-1&1\\1&3\end{bmatrix}$

Kapittel 5

Determinanter

Determinanten er en tallverdi assosiert med kvadratiske matriser, og gir oss viktig informasjon om matrisen – blant annet om den er inverterbar.

5.1 Utregning av determinanter

For en kvadratisk matrise $A$ skrives determinanten $\det A$ eller $|A|$. For en $2 \times 2$-matrise:

Definisjon: Determinant av 2×2-matrise

\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad - bc

For større matriser brukes kofaktorekspansjon langs en rad eller kolonne. Kofaktoren $C_{ij}$ til elementet $a_{ij}$ er gitt ved:

Definisjon: Kofaktorekspansjon

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ der $M_{ij}$ er determinanten av matrisen man får ved å slette rad $i$ og kolonne $j$. Ekspansjon langs rad $i$:

\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}

Fortegnsskjemaet for $(-1)^{i+j}$:

\begin{bmatrix}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\cdots\\+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}

Eksempel: Determinant av 3×3-matrise

Ekspander langs første rad:

\det\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix} = 1\det\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix} - 2\det\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix} + 3\det\begin{bmatrix}4&5\\7&8\end{bmatrix}

\[= 1(45-48) - 2(36-42) + 3(32-35) = -3 + 12 - 9 = 0\]

5.2 Determinanter og radoperasjoner

Teorem: Radoperasjoner og determinant

Bytte to rader: determinanten skifter fortegn.
Skalere en rad med $k$: determinanten multipliseres med $k$.
Legge til et multiplum av én rad til en annen: determinanten er uendret.

Dette gjør at vi kan bruke gausseliminering til å beregne determinanten effektivt ved å bringe matrisen til echelonform og holde styr på hvilke operasjoner som ble brukt.

5.3 Triangulære matriser

Teorem: Determinant av triangulær matrise

Determinanten av en øvre eller nedre triangulær matrise er produktet av diagonalelementene:

\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}

5.4 Regneregler

Regneregler for determinanter

$\det(AB) = \det A \cdot \det B$
$\det A = \det A^T$
Hvis $A$ er inverterbar: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$

5.5 Inverterbarhet

Teorem: Inverterbarhet og determinant

En kvadratisk $n \times n$-matrise $A$ er inverterbar hvis og bare hvis $\det A \neq 0$.

Dette er ett av de ekvivalente utsagnene for inverterbarhet (se også Kapittel 13).

5.6 Eksamensrettede oppgaver

Eksempel: Bruk av kofaktorekspansjon og radoperasjoner

Beregn determinanten:

\det\begin{bmatrix}2&1&3\\0&-1&2\\4&0&1\end{bmatrix}

Ekspander langs kolonne 1 (to nuller gjør det enkelt):

= 2\det\begin{bmatrix}-1&2\\0&1\end{bmatrix} - 0 + 4\det\begin{bmatrix}1&3\\-1&2\end{bmatrix}

\[= 2(-1) + 4(2+3) = -2 + 20 = 18\]

Kapittel 6

Følger

En følge er en ordnet liste av tall. Vi studerer konvergens, monotonisitet og grenseverdier for følger.

6.1 Følger

Definisjon: Følge

En følge $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ er en funksjon $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ der $a_n = f(n)$.

Begrenset: Følgen er begrenset ovenfra dersom det finnes $M$ slik at $a_n \leq M$ for alle $n$, og begrenset nedenfra dersom det finnes $m$ slik at $a_n \geq m$ for alle $n$.

6.2 Konvergens

Definisjon: Konvergens av en følge

Følgen $\{a_n\}$ konvergerer mot grensen $L$, skrevet $\lim_{n\to\infty} a_n = L$, hvis for enhver $\epsilon > 0$ finnes et heltall $N$ slik at for alle $n > N$ er $|a_n - L| < \epsilon$.

Dersom ingen slik $L$ eksisterer, er følgen divergent.

6.3 Voksende og avtagende

Definisjon: Monotone følger

Strengt voksende: $a_{n+1} > a_n$ for alle $n$.
Strengt avtagende: $a_{n+1} < a_n$ for alle $n$.

En begrenset og monoton følge er alltid konvergent.

6.4 Grenseverdier og eksamensrettet oppgave

Regneregler for grenser av følger

La $\lim_{n\to\infty} a_n = A$ og $\lim_{n\to\infty} b_n = B$. Da gjelder:

$\lim_{n\to\infty}(a_n \pm b_n) = A \pm B$
$\lim_{n\to\infty}(a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$ når $B \neq 0$
$\lim_{n\to\infty} C = C$ for konstant $C$
$\lim_{n\to\infty}\frac{c}{f(n)} = 0$ for enhver voksende $f(n)$

Eksempel: Grenseverdi av en følge

1. Finn $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2-4n-3}{2n^2+n-1}$.

Gang teller og nevner med $\frac{1}{n^2}$:

\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{4}{n}-\frac{3}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = \frac{1-0-0}{2+0-0} = \frac{1}{2}

2. Vis at $\left\{\frac{\sin(n)}{3n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ er begrenset.

Vi vet at $|\sin(n)| \leq 1$, så $\left|\frac{\sin(n)}{3n}\right| \leq \frac{1}{3n} \leq 1$. Dermed er 1 en øvre grense og −1 en nedre grense.

Eksamensrettet oppgave: Øvre grense til følge

Følgen $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ er gitt rekursivt ved $a_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}}$ med $a_1 = 0$. Finn en øvre grense til følgen.

Hvis $\lim_{n\to\infty} a_n = L$, er også $\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = L$. Vi har dermed:

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}L+\frac{1}{2}}

Dette kan løses for $L$:

L = \sqrt{\frac{1}{2}L+\frac{1}{2}} \Rightarrow L^2 = \frac{1}{2}L+\frac{1}{2} \Rightarrow L^2 - \frac{L}{2} - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow L = 1

Altså er 1 en øvre grense for følgen.

Kapittel 7

Grenseverdier

Grenseverdier brukes til å beskrive hvordan en funksjon oppfører seg når variabelen nærmer seg en viss verdi, enten fra høyre eller venstre.

7.1 Definisjon

Definisjon: Grenseverdi ($\epsilon$-$\delta$)

La $f(x)$ være definert i et intervall rundt $a$. Grensen $\lim_{x\to a} f(x) = L$ hvis for enhver $\epsilon > 0$ finnes $\delta > 0$ slik at for alle $x$ med $0 < |x-a| < \delta$ gjelder $|f(x)-L| < \epsilon$.

Når $x \to \infty$: $\lim_{x\to\infty}f(x) = L$ betyr at for enhver $\epsilon > 0$ finnes $N > 0$ slik at for alle $x > N$ er $|f(x) - L| < \epsilon$.

Metode: Bevis med $\epsilon$-$\delta$-definisjonen

Skriv ned det som skal vises: Vis at $\lim_{x\to a}f(x) = L$.
Start med $|f(x)-L|$: Manipuler algebraisk for å få en idé om $\delta$.
Finn $\delta$: Velg en passende $\delta$ (ofte som funksjon av $\epsilon$) som sikrer $|f(x)-L| < \epsilon$ når $0 < |x-a| < \delta$.

Eksempel: $\epsilon$-$\delta$-bevis

Vis at $\lim_{x\to 3}(2x+1) = 7$.

Vi ønsker $|(2x+1)-7| < \epsilon$, altså $|2x-6| = 2|x-3| < \epsilon$, dvs. $|x-3| < \frac{\epsilon}{2}$.

Vi velger $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Da følger: $|(2x+1)-7| = 2|x-3| < 2\cdot\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$. ∎

7.2 Regneregler for grenser

Regneregler for grenser

La $\lim_{x\to a}f(x) = L_1$ og $\lim_{x\to a}g(x) = L_2$:

Sumregelen: $\lim_{x\to a}(f(x)+g(x)) = L_1+L_2$
Produktregelen: $\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x)) = L_1 \cdot L_2$
Kvotientregelen: $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$ når $L_2 \neq 0$
Kjederegel: $\lim_{x\to a}f(g(x)) = f(L_2)$

7.3 Ekstremalverdisetning

Teorem: Ekstremalverdisetningen

La $f(x)$ være en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall $[a,b]$. Da finnes det et punkt $c \in [a,b]$ slik at $f(c) \geq f(x)$ for alle $x \in [a,b]$, og et punkt $d \in [a,b]$ slik at $f(d) \leq f(x)$ for alle $x \in [a,b]$.

Med andre ord: en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall har både et globalt maksimum og et globalt minimum.

7.4 Skjæringssetningen

Teorem: Skjæringssetningen (Intermediate Value Theorem)

La $f(x)$ være en kontinuerlig funksjon på $[a,b]$. Hvis $f(a) \neq f(b)$ og $f(a) \cdot f(b) < 0$, finnes det et punkt $c \in (a,b)$ slik at $f(c) = 0$.

Skjæringssetningen er nyttig for å finne røtter av funksjoner.

7.5 L'Hôpital's Regel

L'Hôpital's Regel

Hvis $\lim_{x\to a}f(x) = 0$ og $\lim_{x\to a}g(x) = 0$, eller begge er $\pm\infty$, gjelder:

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

hvis høyre side eksisterer. NB! Regelen kan brukes gjentatte ganger dersom den gir ny ubestemt form.

Eksempel: Grenseverdi med ubestemt uttrykk

Regn ut $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\ln(1+x^2)}$.

Innsetting gir $\frac{0}{0}$, så vi bruker L'Hôpital:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\frac{2x}{1+x^2}} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)(1+x^2)}{2x}

Fremdeles $\frac{0}{0}$, bruker L'Hôpital igjen:

\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)(1+x^2)+\sin(x)\cdot 2x}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}

Kapittel 8

Derivasjon

Derivasjon er nok kjent for de fleste fra før. I dette kurset bygges mye på det som man allerede kan.

8.1 Definisjon

Definisjon: Den deriverte

Den deriverte kan defineres som en grenseverdi:

\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

I prinsippet kan denne formelen brukes til å beregne den deriverte av alle éndimensjonale funksjoner.

8.2 Sekantsetningen (Middelverditeoremet)

Teorem: Sekantsetningen

Hvis $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$, finnes det et punkt $c \in (a,b)$ der den deriverte er lik stigningstallet mellom $(a,f(a))$ og $(b,f(b))$:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)

8.3 Implisitt derivasjon

Selv om en funksjon ikke er gitt med et eksplisitt uttrykk, kan det likevel være mulig å finne den deriverte. Hvis vi har et uttrykk som inneholder både $x$ og $y(x)$, skrevet $F(x,y)=0$, deriverer vi med hensyn på $x$ og bruker kjerneregelen:

\frac{\mathrm{d}(y(x))^2}{\mathrm{d}x} = 2y(x)y'(x)

Eksempel: Implisitt derivasjon

Finn $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ dersom $\frac{x+y}{2y} = 3x^2+y$.

Skriv om til $F(x,y)=0$: $6x^2y+2y^2-x-y=0$.

Deriver med hensyn på $x$: $12xy + 6x^2y' + 4yy' - 1 - y' = 0$.

Løs for $y'$:

y'(6x^2+4y-1) = 1-12xy \Rightarrow y' = \frac{1-12xy}{6x^2+4y-1}

Metode: Tangentlinje til en kurve

Tangentlinjen til punktet $(x_0,y_0)$ på kurven $F(x,y)=0$ er $y = ax + b$ der:

Finn $a = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_0,y_0)$ ved implisitt derivasjon.
Finn $b$ ved å sette inn: $y_0 = ax_0 + b$.

8.4 Eksamensrettet oppgave

Eksempel: Definisjonen av den deriverte

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte av $f(x) = 1/x$.

f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{x-(x+h)}{hx(x+h)} = \lim_{h\to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}

= \lim_{h\to 0}\frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}

Kapittel 9

Transcendente funksjoner

Transcendente funksjoner er funksjoner som ikke kan løses ved et endelig antall algebraiske operasjoner. De spiller en sentral rolle i naturvitenskapene.

9.1 Inverse funksjoner

Definisjon: Invers funksjon

En funksjon $f$ har en invers $f^{-1}$ dersom den er én-til-én (injektiv):

f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{og} \quad f(f^{-1}(x)) = x

En funksjon $f$ er injektiv dersom $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. For å vise dette: Anta $f(x_1) = f(x_2)$ og vis algebraisk at $x_1 = x_2$.

Derivasjonsregel for inverse funksjoner

La $f$ være deriverbar og injektiv med $f'(x) \neq 0$. Da er:

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

9.2 Eksponentialfunksjoner

Egenskaper: Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjoner har formen $f(x) = a^x$ der $a > 0, a \neq 1$. Den naturlige eksponentialfunksjonen $e^x$ er sin egen deriverte: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x$.

$a^0 = 1$ for alle $a > 0$
$a^{x+y} = a^x a^y$
$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
Hvis $a > 1$: strengt voksende; hvis $0 < a < 1$: strengt avtagende

9.3 Logaritmefunksjoner

Egenskaper: Logaritmefunksjoner

Logaritmen $\log_a(x)$ er den inverse til $a^x$: $\log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = x$.

Den naturlige logaritmen $\ln(x) = \log_e(x)$. Derivasjon: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x) = \frac{1}{x}$ for $x > 0$.

$\ln(1) = 0$
$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^r) = r\ln(a)$ for alle reelle $r$

9.4 Inverse trigonometriske funksjoner

Definisjon og derivasjon

Trigonometriske funksjoner er ikke én-til-én over hele sitt definisjonsområde. Ved å begrense domenet kan man definere inversene:

$\arcsin(x)$ er invers av $\sin(x)$ på $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\arccos(x)$ er invers av $\cos(x)$ på $[0, \pi]$
$\arctan(x)$ er invers av $\tan(x)$ på $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Derivasjon:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad x\in\mathbb{R}

9.5 Hyperbolske funksjoner

Definisjon og egenskaper

\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}

Egenskaper:

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh(x) = \cosh(x)$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cosh(x) = \sinh(x)$

Inverse hyperbolske funksjoner:

\operatorname{arsinh}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)

\operatorname{arcosh}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right), \quad x \geq 1

9.6 Eksamensrettet oppgave

Eksempel: Inversfunksjon og sin deriverte

Vis at $f(x) = 2 - xe^{x^8},\ x\in\mathbb{R}$ har en invers, og regn ut $(f^{-1})'(2)$.

$f'(x) = -(1+8x^8)e^{x^8}$. Siden $e^{x^8} > 0$ og $(1+8x^8) > 0$ for alle $x$, er $f'(x) < 0$ alltid, så $f$ er strengt avtagende og injektiv.

Siden $f(0) = 2$ er $f^{-1}(2) = 0$. Videre:

(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{-(1+0)e^0} = -1

Kapittel 10

Differensialligninger

Differensialligninger er ligninger som relaterer en funksjon og dens deriverte. De brukes til å modellere fenomener i fysikk, biologi, økonomi og ingeniørfag.

10.1 Førsteordens differensialligninger

En førsteordens differensialligning har formen $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(t,y)$. Et initialverdiproblem (IVP) legger til betingelsen $y(t_0) = y_0$.

Metode: Separable differensialligninger

En ligning $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = g(t)h(y)$ er separabel. Løsningsmetode:

Skriv om: $\frac{1}{h(y)}\mathrm{d}y = g(t)\mathrm{d}t$
Integrer begge sider: $\int\frac{1}{h(y)}\mathrm{d}y = \int g(t)\mathrm{d}t$
Løs eventuelt for $y$ eksplisitt
Bruk initialbetingelsen til å bestemme konstanten $C$

Eksempel: Separabel differensialligning

Løs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = y\cos(t),\ y(0) = 2$.

\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y = \int\cos(t)\mathrm{d}t \Rightarrow \ln|y| = \sin(t)+C

y(t) = Ce^{\sin(t)}

Initialbetingelse $y(0)=2$: $2 = Ce^0 = C$. Løsningen er $y(t) = 2e^{\sin(t)}$.

Metode: Lineære ODEer — Integrerende faktor

For ligningen $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + p(t)y = q(t)$:

Finn integrerende faktor: $\mu(t) = e^{\int p(t)\mathrm{d}t}$
Multipliser hele ligningen med $\mu(t)$
Venstresiden blir $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mu(t)y]$
Integrer: $\mu(t)y = \int\mu(t)q(t)\mathrm{d}t + C$
Løs for $y(t)$

Eksempel: Integrerende faktor

Løs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2y = e^{-t},\ y(0) = 1$.

$p(t) = 2$, så $\mu(t) = e^{2t}$. Multipliser:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{2t}y] = e^t \Rightarrow e^{2t}y = e^t + C \Rightarrow y(t) = e^{-2t}(e^t+C)

Initialbetingelse $y(0) = 1$: $1 = e^0(1+C) \Rightarrow C = 0$. Løsning: $y(t) = e^{-t}$.

10.2 Retningsfelt

Et retningsfelt (slope field) er en grafisk fremstilling av løsningene til en førsteordens ODE $y' = f(x,y)$. For hvert punkt tegnes en liten pil med stigningstall $y' = f(x,y)$. Pilene viser retningen løsningskurvene beveger seg og hjelper å visualisere oppførselen uten å løse ligningen eksplisitt.

10.3 Numeriske løsningsmetoder

I mange tilfeller er det ikke mulig å finne en eksakt løsning. Da bruker vi numeriske metoder på initialverdiproblemet $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(t,y),\ y(t_0) = y_0$.

Eulers metode

Gitt skrittlengde $h > 0$:

t_{n+1} = t_n + h, \quad y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n)

Eulers midtpunktmetode

Gitt skrittlengde $h > 0$, finn først midtpunktet:

t_n^* = t_n + \frac{h}{2}, \quad y_n^* = y_n + \frac{h}{2}f(t_n,y_n)

Deretter:

t_{n+1} = t_n + h, \quad y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n^*, y_n^*)

Midtpunktmetoden er mer nøyaktig enn Eulers metode. En annen populær metode er Runge-Kutta av fjerde orden (RK4), som er enda mer nøyaktig.

Eksempel: Initialverdiproblem med integrerende faktor

Løs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2xy = \frac{e^{x^2}}{(x+1)^2}$ med $y(0) = 5$ der $x > -1$.

$p(x) = -2x$, integrerende faktor: $\mu(x) = e^{-x^2}$. Multipliser:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[e^{-x^2}y] = \frac{1}{(x+1)^2}

Integrer: $e^{-x^2}y = -\frac{1}{x+1} + C$, så $y(x) = -\frac{e^{x^2}}{x+1} + Ce^{x^2}$.

Med $y(0) = 5$: $5 = -1 + C \Rightarrow C = 6$. Løsning:

y(x) = \frac{(6x+5)e^{x^2}}{x+1}

10.4 Andre ordens differensialligninger

Metode: Homogen andre ordens ODE

For $ay'' + by' + cy = 0$ løser vi den karakteristiske ligningen $ar^2 + br + c = 0$. Generell løsning:

y(t) = \begin{cases} Ae^{r_1 t} + Be^{r_2 t} & \text{to reelle røtter } r_1, r_2 \\ Ae^{rt} + Bte^{rt} & \text{én reell rot } r \\ Ae^{ut}\cos(vt) + Be^{ut}\sin(vt) & \text{komplekse røtter } r_{1,2} = u \pm iv \end{cases}

Eksempel: Homogen andre ordens ODE

Løs $y'' + 6y' + 13y = 0$ med $y(0) = 2,\ y'(0) = 0$.

Karakteristisk ligning: $r^2 + 6r + 13 = 0 \Rightarrow r = -3 \pm 2i$.

y(t) = e^{-3t}(A\cos(2t) + B\sin(2t))

$y(0) = 2 \Rightarrow A = 2$. Deriver: $y'(0) = -3A + 2B = 0 \Rightarrow B = 3$. Løsning:

y(t) = e^{-3t}(2\cos(2t) + 3\sin(2t))

Metode: Inhomogen andre ordens ODE — Gjettemetoden

For $ay'' + by' + cy = f(t)$: Løsningen er $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$ der $y_h$ er den homogene løsningen og $y_p$ er den partikulære løsningen. Gjett $y_p$ basert på $f(t)$:

Hvis $f(t)$ er	Gjett $y_p$
polynom $p(t)$	polynom $q(t)$ av samme grad
$Ke^{ct}$	$ae^{ct}$
$K\cos(\omega t)$ eller $K\sin(\omega t)$	$a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)$
$Ke^{ct}\cos(\omega t)$ eller $Ke^{ct}\sin(\omega t)$	$e^{ct}[a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)]$

Modifikasjon: Hvis gjett-$y_p$ er en løsning av den homogene ligningen, multipliser med $t$ (ev. $t^2$).

Kapittel 11

Numerikk

Numerikk er sentralt i matematikk vi ønsker å bruke for å modellere verden. Her innføres metodikk for å løse problemer som ikke har analytiske løsninger.

11.1 Taylorpolynomer

Definisjon: Taylorpolynomet

Taylorpolynomet til $f$ av grad $n$ om punktet $a$ er:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Hvis $a = 0$ kalles det et Maclaurin-polynom. I grensen $n \to \infty$ konvergerer taylorrekken mot funksjonen for en del verdier av $x$.

Taylors teorem (feilestimering)

Feilen ved å bruke $P_n(x)$ i stedet for $f(x)$ er:

E_n(x) = f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

for en $s$ mellom $a$ og $x$. Vi bruker stor-O-notasjon: $E_n(x) = \mathcal{O}((x-a)^{n+1})$.

Eksempel: Tilnærming med taylorpolynom

Estimer $\sqrt{61}$ med andreordens taylorpolynom for $f(x) = \sqrt{x}$ om $a = 64$.

f'(x) = \tfrac{1}{2}x^{-1/2},\quad f''(x) = -\tfrac{1}{4}x^{-3/2}

P_2(x) = 8 + \frac{x-64}{16} - \frac{(x-64)^2}{4096}

\sqrt{61} \approx P_2(61) = 8 - \frac{3}{16} - \frac{9}{4096} \approx 7.8103

11.2 Fikspunktiterasjon

Metode: Fikspunktiterasjon

Løser ligninger på formen $x = f(x)$:

Skriv om ligningen til formen $x = f(x)$
Velg startverdi $x_0$
Iterer: $x_{n+1} = f(x_n)$ til konvergens

NB! Metoden virker ikke dersom $|f'(x)| > 1$ nær løsningen.

11.3 Newtons metode

Newtons metode

For å løse $f(x) = 0$ itereres:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Velg en god startverdi $x_0$ nær løsningen. Newtons metode gir vanligvis rask konvergens.

11.4 Eulers metode (numerisk ODE)

Eulers metode for å løse ODEer numerisk ble presentert i Kapittel 10.3. Her brukes den som utgangspunktet for mer avanserte metoder. Gitt $y' = f(x,y)$ og startpunkt $(x_0, y_0)$:

x_{n+1} = x_n + h, \quad y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)

Kapittel 12

Integrasjon

Integrasjon er noe de fleste husker fra videregående. I dette kurset blir man kjent med en formell definisjon av integralet og numeriske teknikker for å løse integraler.

12.1 Riemann-integralet

Definisjon: Riemann-integralet

Del $[a,b]$ inn i $n$ delintervaller $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$. Velg $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$. Riemann-summen er:

S = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)(x_i - x_{i-1})

Funksjonen $f$ er Riemann-integrerbar på $[a,b]$ dersom grensen

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)(x_i-x_{i-1})

eksisterer og er uavhengig av valg av $x_i^*$.

12.2 Det bestemte integralet

Egenskaper: Det bestemte integralet

Linearitet: $\int_a^b (af(x)+bg(x))\,\mathrm{d}x = a\int_a^b f\,\mathrm{d}x + b\int_a^b g\,\mathrm{d}x$
Monotoni: Hvis $f(x) \leq g(x)$ på $[a,b]$, så $\int_a^b f\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g\,\mathrm{d}x$
Additivitet: $\int_a^b f\,\mathrm{d}x = \int_a^c f\,\mathrm{d}x + \int_c^b f\,\mathrm{d}x$

12.3 Analysens fundamentalteorem

Teorem: Analysens fundamentalteorem

Del 1: Hvis $f$ er kontinuerlig på $[a,b]$ og $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$, så er $F'(x) = f(x)$.

Del 2: Hvis $F'(x) = f(x)$, så:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

12.4 Numerisk integrasjon

Trapesmetoden

Del $[a,b]$ i $n$ like delintervaller, $h = \frac{b-a}{n}$:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]

Feil: $\leq \frac{K(b-a)}{12}h^2$ der $|f''(x)| \leq K$.

Midtpunktmetoden

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx h\sum_{i=1}^n f(x_i^*)

der $x_i^* = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ er midtpunktet i hvert delintervall. Feil: $\leq \frac{K(b-a)}{24}h^2$.

Simpsons metode

$n$ må være partall, $h = (b-a)/n$:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]

Vektene veksler mellom 4 og 2 (unntatt første og siste som er 1). Feil: $\leq \frac{K(b-a)}{180}h^4$. Simpsons metode er mer nøyaktig enn trapes- og midtpunktmetoden.

12.5 Beregne integraler

Delvis integrasjon

\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u

Brukes til å integrere produkter av funksjoner.

Eksempel: $\int xe^x\,\mathrm{d}x$. La $u = x$, $\mathrm{d}v = e^x\mathrm{d}x$. Da $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$, $v = e^x$:

\int xe^x\,\mathrm{d}x = xe^x - \int e^x\,\mathrm{d}x = xe^x - e^x + C

Substitusjon (variabelskifte)

Forenkler integraler ved å erstatte variabelen med en enklere form.

NB! Hvis vi har et bestemt integral med grenser $a$ og $b$, må disse endres ved substitusjon!

Eksempel: $\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$. La $u = x^2$, $\mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$:

\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x = \int e^u\,\mathrm{d}u = e^u + C = e^{x^2} + C

Invers substitusjon og delbrøksoppspalting

Invers substitusjon: Nyttig når integranden er sammensatt. Bruk gjerne trigonometriske substitusjoner.

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x \xrightarrow{x=\sin\theta} \arcsin(x) + C

Delbrøksoppspalting: For rasjonale funksjoner, skriv brøken som en sum av enklere brøker:

\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\,\mathrm{d}x = \int\frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x + \int\frac{2}{x+2}\,\mathrm{d}x = \ln|x-1| + 2\ln|x+2| + C

12.6 Anvendelser av integrasjon

Areal, volum og buelengde

Areal mellom to kurver $f(x)$ og $g(x)$ fra $a$ til $b$:

A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x

Volum ved rotasjon rundt $x$-aksen (skivemetoden):

V = \pi\int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x

Volum ved rotasjon rundt $y$-aksen (sylinderskallmetoden):

V = 2\pi\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x

Buelengde:

L = \int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x

Areal av omdreiningsflate (rundt $x$-aksen):

A = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x

Kapittel 13

Kort oppsummering

Her samles nyttige formler og teoremer fra hele kompendiet. Mange har vært på formelarket i TMA4100 Matematikk 1. Merk: Disse formlene blir nok ikke oppgitt på nåværende formelark — lær de viktigste utenat!

Ekvivalente utsagn for inverterbare matriser

Teorem: Ekvivalente utsagn

En kvadratisk $n\times n$-matrise $A$ er inverterbar hvis og bare hvis ett (og dermed alle) av følgende utsagn er sann:

$A$ er inverterbar.
$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ har kun den trivielle løsningen $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ har en løsning for alle $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$.
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ har en entydig løsning for alle $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$.
Kolonnene i $A$ utspenner $\mathbb{R}^n$.
$A$ er radekvivalent med identitetsmatrisen.
$A$ har $n$ pivotelementer.
$\det A \neq 0$.

Vanlige formler i kalkulus

Eulers formel og geometri

z = a+ib = r(\cos\phi + i\sin\phi) = re^{i\phi}

Avstand mellom to punkter: $D = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Ligning til en sirkel med sentrum $(h,k)$ og radius $a$: $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2$

Andregradsligning $Ax^2+Bx+C=0$: $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Trigonometriske identiteter

\cos(s+t) = \cos s\cos t - \sin s\sin t

\cos(s-t) = \cos s\cos t + \sin s\sin t

\sin(s+t) = \sin s\cos t + \cos s\sin t

\sin(s-t) = \sin s\cos t - \cos s\sin t

Derivasjonsregler

Produktregelen: $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

Kvotientregelen: $(f/g)'(x) = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

Kjerneregelen: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Trigonometriske:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x = \cos x, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x = -\sin x, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}

Inverse trigonometriske:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

Elementære integraler

\int x^r\,\mathrm{d}x = \frac{x^{r+1}}{r+1}+C \ (r\neq -1), \quad \int\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x|+C

\int e^{ax}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}e^{ax}+C, \quad \int\sin(ax)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C

\int\cos(ax)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\sin(ax)+C, \quad \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C

\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C

Hvis \(f(t)\) er	Gjett \(y_p\)
polynom \(p(t)\)	polynom \(q(t)\) av samme grad
\(Ke^{ct}\)	\(ae^{ct}\)
\(K\cos(\omega t)\) eller \(K\sin(\omega t)\)	\(a\sin(\omega t) + b\cos(\omega t)\)
\(Ke^{ct}\cos(\omega t)\) eller \(Ke^{ct}\sin(\omega t)\)	\(e^{ct}[a\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)]\)