Kompendium i statistikk

TMA4240/TMA4245 Statistikk – NTNU

Forstå · se det i bruk · løs selv · tenk kritisk

Ritika Jaswal Suryavanshi

Bygget på emnematrisa (uke 34–47) og eksamenssettene august 2024 – august 2026

Slik bruker du kompendiet

Kompendiet følger emnematrisa uke 34–47 og er bygd for at du skal forstå, se og så løse selv. Alle eksempler og de fleste oppgavene er hentet fra eller modellert etter eksamenssettene fra august 2024 til august 2026.

Hvert kapittel har samme oppbygning:

Del	Hva du gjør	Tid
Forstå	Les intuisjonen først, deretter formelen. Spør: «hvorfor ser formelen slik ut?»	20–30 min
Eksempel	Følg et fullt løst eksempel. Dekk til løsningen og prøv selv før du leser videre.	15 min
Prøv selv	Oppgaver merket ★(grunnleggende), ★★(eksamensnivå) og ★★★(utfordring). Fasit bakerst.	30–60 min
Tenk kritisk	Et spørsmål uten fasit-tall, der du må argumentere. Diskuter med en medstudent.	10 min
Eksamenskobling	Hvor og hvordan temaet har vært gitt på eksamen.	5 min
Selvtest	Fem raske spørsmål. Fire av fem riktige betyr at du er klar for neste kapittel.	5 min

Tre regler for aktiv læring

Skriv før du leser løsningen. Selv et feil forsøk gir bedre læring enn å lese et riktig svar.
Forklar med egne ord. Etter hvert eksempel: si høyt hvilken regel du brukte og hvorfor den gjelder.
Sjekk svaret med sunn fornuft. En sannsynlighet utenfor [0, 1], en negativ varians eller et konfidensintervall som ikke inneholder estimatet, betyr at noe er galt.

Lesestrategi

Blokk 1 (kapittel 1–7, uke 34–40) er sannsynlighetsregning. Blokk 2 (kapittel 8–11, uke 41–46) er statistisk inferens. Eksamen blander dem: den lange oppgaven starter ofte med en fordeling (blokk 1) og ender med konfidensintervall eller test (blokk 2). Les derfor kapittel 12 (eksamensguiden) tidlig, slik at du vet hva du trener mot.

Om tallene: Noen eksamenssett manglet tallverdier i oppgaveteksten. Der er tallene tilpasset og merket «tilpasset». Sjekk alltid mot offisielle løsningsforslag.

Fasit og løsningsskisser

Se her først etter at du har skrevet ned et eget forsøk. Skissene viser hovedstegene; på eksamen skal mellomregningen skrives ut.

Svar på selvtestene. Fikk du fire eller fem riktige, er du klar for neste kapittel. Fikk du færre, les «Forstå» på nytt og løs én ★-oppgave til.

Kapittel 1

Sannsynlighet

Uke 34–35·Pensum: WMMY kap. 2.1–2.8

Sannsynlighet er et tall mellom 0 og 1 som vi tilordner hendelser, og nesten alt i emnet bygger på fire regler: komplement, union, betinging og total sannsynlighet.

Forstå

Grunnbegreper. Et stokastisk forsøk har et utfallsrom $S$ . En hendelse $A$ er en delmengde av $S$ . $A \cap B$ betyr «både $A$ og $B$ », $A \cup B$ betyr « $A$ eller $B$ (eller begge)», og $A^c$ betyr «ikke $A$ ».

Disjunkt vs. uavhengig – den klassiske forvekslingen. Disjunkte hendelser kan ikke skje samtidig: $P(A \cap B) = 0$ . Uavhengige hendelser påvirker ikke hverandre: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . To disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er alltid avhengige: vet du at $A$ skjedde, vet du at $B$ ikke skjedde.

Regneregler.

P(A^c) = 1 - P(A), \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B),

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(A \cap B) = P(A \mid B)\, P(B).

Total sannsynlighet og Bayes. Hvis $B_1, \ldots, B_k$ deler utfallsrommet i disjunkte biter, er

P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A \mid B_i)P(B_i), \qquad P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)P(B_j)}{\sum_i P(A \mid B_i)P(B_i)}.

Intuisjon: Bayes «snur» betingingen. Telleren er den ene greinen i treet, nevneren er summen av alle greiner som ender i $A$ .

Uniform modell og kombinatorikk. Når alle utfall er like sannsynlige, er $P(A)$ lik antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall. Nøkkelen er å telle riktig:

Situasjon	Antall	Eksempel
Ordnet, med tilbakelegging	$n^k$	PIN-kode: $10^4$
Ordnet, uten tilbakelegging	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	Gull, sølv, bronse blant 8: $336$
Uordnet, uten tilbakelegging	$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	5 kort av 52: $2\,598\,960$

Multiplikasjonsprinsippet: skjer valget i trinn, multipliserer du antall muligheter i hvert trinn.

Se det i bruk

Eksempel 1.1 – kombinatorikk (desember 2025)

Hva er sannsynligheten for hus (tre like og to like) når vi trekker 5 kort?

Mulige utvalg: $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$ .
Gunstige, i trinn: verdi for trippelen (13), 3 av 4 sorter ( $\binom{4}{3} = 4$ ), en annen verdi for paret (12), 2 av 4 sorter ( $\binom{4}{2} = 6$ ). Totalt $13 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 6 = 3\,744$ .
$P(\text{hus}) = 3\,744/2\,598\,960 = 0{,}00144$ .

Trippel og par har ulike roller, derfor $13 \cdot 12$ og ikke $\binom{13}{2}$ . Ved tress (to «singler» med samme rolle) blir det motsatt – se oppgave 3.

Eksempel 1.2 – Bayes (kontinuasjon august 2024)

Unio har 110, 50 og 60 medlemmer ved fakultetene AA, BB og CC, og tar ut henholdsvis $10\,\%$ , $50\,\%$ og $30\,\%$ i streik. Alle streikende står streikevakt med sannsynlighet $0{,}35$ .

Antall streikende: AA 11, BB 25, CC 18. Totalt 54.
Gitt at en streiker ikke er fra AA: $P(\text{CC} \mid \text{ikke AA}) = 18/(25+18) = 18/43 = 0{,}419$ .
Vi møter en streikevakt: $P(\text{CC} \mid \text{vakt}) = \frac{18 \cdot 0{,}35}{54 \cdot 0{,}35} = \frac{18}{54} = 0{,}333.$

Siden sannsynligheten for å stå vakt er lik for alle fakulteter, forkortes $0{,}35$ bort. Streikevakten er da like informativ som «en tilfeldig streiker».

Figur 1.1: Sannsynlighetstre for eksempel 1.2. $P(\text{CC} \mid \text{vakt}) = 6{,}30/(3{,}85 + 8{,}75 + 6{,}30) = 18/54 = 0{,}333$ : faktoren $0{,}35$ står i både teller og nevner og forsvinner.

Eksempel 1.3 – sannsynligheter fra en tabell (august 2026)

Norsk Regnesentrals modell ga Norge $100\,\%$ for 1/8-finale, $39{,}4\,\%$ for kvartfinale og $18{,}3\,\%$ for semifinale. La $A$ = «Norge vinner 1/8-finalen» og $B$ = «Norge vinner kvartfinalen».

$P(A) = 0{,}394$ .
Siden $B \subset A$ , er $P(A \cap B) = P(B)$ , så $P(B \mid A) = 0{,}183/0{,}394 = 0{,}464$ .
$P(B^c \mid A) = 1 - 0{,}464 = 0{,}536$ .
$P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B) = 1$ . Mange svarte feil her fordi de regnet uten å tenke.

Prøv selv

★ En urne har 25 kuler, 10 røde og 15 blå. Vi trekker 5 uten tilbakelegging. Hvor mange mulige utvalg finnes, hvor mange gir nøyaktig 3 røde, og hva er sannsynligheten? (mai 2025)

$\binom{25}{5} = 53\,130$ . Gunstige: $\binom{10}{3}\binom{15}{2} = 120 \cdot 105 = 12\,600$ . $P = 0{,}237$ .
★ Et lag har 3 målvakter, 7 forsvarsspillere og 10 angrepsspillere. På hvor mange måter kan man velge 11 spillere med a) nøyaktig 1 målvakt, b) 1 målvakt, 4 forsvar og 6 angrep? (august 2025)

a) $3\binom{17}{10} = 3 \cdot 19\,448 = 58\,344$ . b) $3\binom{7}{4}\binom{10}{6} = 3 \cdot 35 \cdot 210 = 22\,050$ .
★★ Hvor mange måter kan man få tress (tre like, de to andre med forskjellige andre verdier) med 5 kort? (mai 2026)

$13\binom{4}{3}\binom{12}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 54\,912$ . De to «single» verdiene velges uordnet, fordi de har samme rolle.
★★ Norges VM-tropp: 3 keepere, 9 forsvar, 11 midtbane, 3 angrep. a) Hvor mange måter kan 4 forsvarere velges? b) Hvor mange 4-4-2-oppsett finnes? c) 11 tilfeldige spillere sitter i en buss. Hva er sannsynligheten for at de akkurat kan stille et 4-4-2-lag? (august 2026)

a) 126. b) $3 \cdot 126 \cdot \binom{11}{4}\binom{3}{2} = 374\,220$ . c) $374\,220/\binom{26}{11} = 374\,220/7\,726\,160 = 0{,}0484$ .
★★ Covid-test: $P(C) = 0{,}02$ , sensitivitet $P(T \mid C) = 0{,}90$ , spesifisitet $P(T^c \mid C^c) = 0{,}98$ . Finn $P(T)$ og $P(C^c \mid T)$ . Tolk svaret. (tall tilpasset fra desember 2025)

$P(T) = 0{,}90 \cdot 0{,}02 + 0{,}02 \cdot 0{,}98 = 0{,}0376$ . $P(C^c \mid T) = 0{,}0196/0{,}0376 = 0{,}521$ . Med $P(C) = 0{,}20$ faller den til $0{,}016/0{,}196 = 0{,}082$ .
★★★ Vis at hvis $A$ og $B$ er uavhengige, er også $A^c$ og $B$ uavhengige.

$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = P(B) - P(A)P(B) = P(A^c)P(B)$ .

Tenk kritisk

I oppgave 5 er testen « $98\,\%$ spesifikk», men mer enn halvparten av de positive er friske. Forklar dette til en venn uten å bruke formler. Hva skjer med svaret når $P(C)$ øker til $0{,}20$ ?

Eksamenskobling

Kombinatorikk (kort, fotballag, urner) har vært en autorettet oppgave på alle eksamener fra og med mai 2025. Bayes/total sannsynlighet kommer som autorettet oppgave (covid, VM-tabell) eller som første del av en lang oppgave (Unio). Oppgaven «disjunkt eller uavhengig?» (august 2025) tester begrepsforståelse direkte.

Selvtest (5 minutter) – svar bakerst

Sant eller usant: Hvis $A$ og $B$ er disjunkte og begge har positiv sannsynlighet, er de uavhengige.

Usant: de er avhengige
$P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ og $P(A \cup B) = 0{,}7$ . Hva er $P(A \cap B)$ ?

$0{,}2$
Er $A$ og $B$ i spørsmål 2 uavhengige? Begrunn med ett regnestykke.

Ja: $0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2$
På hvor mange måter kan 3 av 10 personer velges til et styre uten roller? Og med rollene leder, nestleder og sekretær?

120 og 720
$P(A \mid B) = 1$ . Hva sier det om forholdet mellom $A$ og $B$ ?

$P(B \cap A^c) = 0$ : $B$ skjer ikke uten $A$