1. Repetisjon fra Mekanikk 1

Mekanikk 2 bygger på Mekanikk 1, så det kan være nødvendig med en liten oppfriskning. I Mekanikk 1 lærte vi først og fremst om statikk. Statikkens fundamentale byggestein er Newtons lov: summen av kreftene på et legeme i ro er lik null. Vi har likevekt av hele legemet, samt likevekt for enhver del av legemet hver for seg. Statikken lar oss bestemme alle kreftene som virker på en konstruksjon: størrelse og retning. I Mekanikk 1 begynte man i tillegg å se på fasthetslæren. Fastheten av et materiale er det vi på hverdagsnorsk kaller styrken til materialet. Fasthetslæren gir informasjon om responsen i et kraftpålagt legeme, det vil si informasjon om indre krefter og deformasjon. Her kommer en rask gjennomgang av de grunnleggende prinsippene.

1.1 Grunnligningene fra Mekanikk 1

1.1.1 Statikk

Statikken ga 3 likevektsligninger:

Likevekt gjelder også i 3D, men da med 6 ligninger. Skrives de vektorielt, blir det

der $\mathbf{r_p}$ er momentarmen som vektor. I mekanikken ser vi som oftest på konstruksjoner som har mye lengre utstrekning enn bredde og/eller høyde. Da er det tilstrekkelig å se på konstruksjonen i 2 dimensjoner, ettersom variasjonene inn i planet er lite signifikante. I tilfeller der lengden er mye større enn både høyden og bredden kan vi bruke endimensjonal analyse, slik vi gjør med staver. I endimensjonal analyse har vi bare én ukjent, kraften i den aktuelle retningen, og én likevektsligning.

Etter å ha funnet de ukjente kreftene, er det vanlig å fremstille resultatet grafisk i N-, V- og M-diagram. Dette gjorde vi mange ganger i Mekanikk 1 og er en svært sentral del også i Mekanikk 2. Måten å finne snittkreftene på er å ta et snitt gjennom bjelken, og kreve likevekt av de eksterne kreftene med snittkreftene, se figur 1.1.

$$\sum F_x = 0 \implies N_x = 0$$ $$\sum F_y = 0 \implies V(x) = qx$$ $$\sum M_0 = 0 \implies M(x) = qx\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{qx^2}{2}$$

Figur 1.1: Snittkreftene i en bjelke med fri ende og en jevnt fordelt last

Snittkreftene er henholdsvis aksialkraft N, skjærkraft V og bøyemoment M. I tillegg til størrelsen, tegnes N- og V-diagrammet med virkningssymbol. For momentdiagrammet tegnes ikke virkningssymbol, men diagrammet tegnes på strekksiden.

1.1.2 Fasthetslære

Fasthetslæren tar statikken litt lenger ved at den beskriver hva som skjer inne i materialet ved gitte snittkreftene. Snittkreftene er i likevekt med spenningene over et tverrsnitt. Dette er på grunn av at snittkreftene er spenningsresultanter. Normalkraften er egentlig resultanten av aksialspenningene. Tilsvarende er det for bøyemomentet, se figur 1.2 under.

Figur 1.2: Normalkraft N og bøyemoment M fordelt som spenning over et tverrsnitt A

Ved likevekt har vi følgende sammenhenger:

Fra figur 1.2 ser vi at normalspenningen kan skrives som summen av aksialspenning og bøyespenning:

1.2 Elastiske Materialer

Ved å strekke en strikk med en kraft forlenges strikken med en lengde som er proporsjonal med kraften. En slik strekkeffekt, eller elastisitet, skjer generelt med alle materialer, deriblant stål og betong. Forskjellen er at elastisiteten til stål og betong er mye lavere sammenlignet med gummi. Når et legeme utsettes for en ekstern kraft vil materialet kjenne en spenning på grunn av kraften, som kan uttrykkes ved $\sigma = N/A$ i 1 dimensjon. Spenningen i materialet skaper en tøyning, en forlengelse, av legemet i retningen kraften virker. Denne tøyningen kan uttrykkes ved $\varepsilon = \sigma/E$, der $E$ er elastisitetsmodulen. Denne sammenhengen er også kjent som Hookes lov, og finnes i mer generaliserte former for 2 og 3 dimensjoner. Dette kommer vi tilbake til i kapittel 7. I figur 1.3 a) ser vi en stav som er påført en aksialkraft F, og en påfølgende aksialtøyning i stiplede linjer. Tøyningen lager en forlengelse av staven. Definisjonen av tøyning er relativ lengdeforlengelse, altså

Forlengelsen av staven fører også til en kontraksjon av tverrsnittet, se figur 1.3 b). Kontraksjonen er beskrevet ved tverrkontraksjonen $\varepsilon_T = -\nu\varepsilon$, der $\nu$ er tverrkontraksjonstallet. $\nu$ kalles også poissontallet, og er en konstant som er avhengig av materialet. Den fysiske forklaringen på tverrkontraksjon er at masse ikke forsvinner, men fordeles fra sidene til lengden. Hvor mye masse som blir fordelt er beskrevet av poissontallet, og er typisk lik 0.3 for stål.

Figur 1.3

1.3 Tverrsnittskonstanter fra statikken

Arealsenteret til et legeme er det punktet vi kan påføre en kraft uten at legemet begynner å rotere. For et rektangulært tverrsnitt er det trivielt å finne plasseringen av arealsenteret. På grunn av symmetri er det i midten av tverrsnittet for både x- og y-koordinaten. Generelt finner man arealsenteret ved å ta momentlikevekt. I figur 1.4 ser vi at et lite areal $dx \cdot dy$ gir et momentbidrag om origo i både x- og y-retning; $M_x = y_i \cdot dA$ og $M_y = x_i \cdot dA$. Vi har valgt et vilkårlig koordinatsystem i ytterkant av tverrsnittet, og får derfor et netto moment. Ved å kreve at $M_x = M_y = 0$ finner vi avstanden fra det antatte koordinatsystemet til arealsenterets $x_C$ eller $y_C$. Den beskrevede likevekten gir følgende formler:

1. arealmoment: $$S_y = \int_A x \, dA = \sum_i x_i A_i$$ $$S_x = \int_A y \, dA = \sum_i y_i A_i$$ Arealsenter: $$x_C = \frac{1}{A} \int_A x \, dA = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i} = \frac{S_y}{A}$$ $$y_C = \frac{1}{A} \int_A y \, dA = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} = \frac{S_x}{A}$$ 2. arealmoment: $$I_x = \iint_A y^2 \, dA, \qquad I_y = \iint_A x^2 \, dA$$ der x, y er om arealsenteret.

Figur 1.4: Arealmoment av et generelt tverrsnitt

I denne figuren forutsettes det at tverrsnittet ligger i x-y planet. Konvensjonen i Mekanikk 2 er vanligvis at x-aksen er parallell med lengdeaksen til bjelken, mens tverrsnittet som oftest ligger i y-z planet (eller noen ganger z-y planet). Heretter vil vi hovedsakelig anta at tverrsnittet ligger i y-z planet.

Istedenfor å bruke integralformen av formelen for arealsenteret, regner vi som oftest ut summen av enkle deltverrsnitt der vi alt kjenner koordinaten til deltverrsnittets arealsenter. Så lenge vi har nøyaktige verdier for hvert enkelt deltverrsnitt introduserer vi ikke noen feil. Med andre ord gjelder superposisjonsprinsippet.

2. arealmoment sier noe om hvor motstandsdyktig et tverrsnitt er mot bøyning. Derfor kalles det også arealtreghetsmoment.

I og med at $I_y = \iint_A z^2 \, dA$ og $I_z = \iint_A y^2 \, dA$ må regnes ut om arealsenteret, er det bare å bruke superposisjon av et sammensatt tverrsnitt. Vi må i tillegg ta høyde for at vi flytter arealsenteret for hvert deltverrsnitt. Dette gjøres ved å bruke Steiners teorem, som også kalles parallellakseteoremet:

For å finne 2. arealmoment $I_z$ for et vilkårlig tverrsnitt gjør vi som følger:

I   Finn arealsenteret for tverrsnittet ved $y_c = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i}$.

II   Del tverrsnittet opp i n deltverrsnitt som alle har kjente formler for 2. arealmoment. Bruk formelarket for å finne uttrykk for $I_z$ til hvert deltverrsnitt, og beregn disse.

III   Lokaliser det lokale arealsenteret for hvert deltverrsnitt. For deltverrsnitt der det ikke er helt opplagt hvor arealsenteret ligger kan man bruke formelarket. Dette gjelder blant annet for en halvsirkel ($y_c = 4r/3\pi$) og trekanter ($y_c = h/3$).

IV   $I_{z, totalt} = \sum (I_{z, \text{hver del}} + a^2 A_{\text{hver del}})$. Her er $a$ avstanden fra det lokale arealsenteret til det globale arealsenteret.

Bøyespenning $\sigma_M$ gir trykk i den ene delen av tverrsnittet (f.eks. øvre del) og strekk i den andre delen (f.eks. nedre del). På ett sted må det gå en overgang mellom trykk og strekk, og dette punktet kalles nøytralaksen. Her er bøyespenningen lik null. Hvis vi har en bjelke som er symmetrisk går nøytralaksen gjennom arealsenteret. Nøytralaksens beliggenhet er av interesse når vi kommer til skjærspenninger i kapittel 3.