1. Introduksjon

Dette kapittelet handler om to ting: hvordan du får mest mulig ut av faget og av dette kompendiet, og en oppfriskning av den matematikken og fysikken fra videregående som du kommer til å bruke i så godt som hver eneste oppgave. Les gjennom det nå i starten, og bla gjerne tilbake til den siste delen om trigonometri og krefter når du får bruk for den.

1.1 Slik jobber du med faget

Det viktigste du kan ta med deg fra dette kapittelet er egentlig én setning: Mekanikk 1 er et fag der mengdetrening er alt; du lærer å løse mekanikkoppgaver ved å løse mange mekanikkoppgaver.

Grunnen til at dette fungerer, er at du bygger intuisjon. Når du har regnet gjennom nok oppgaver, begynner du å se løsningen før du regner. Du kjenner igjen situasjonen, har en følelse av hva svaret bør bli, og merker hvis noe ser feil ut. Den intuisjonen er gull verdt, og den kommer av å jobbe jevnt.

Nettopp derfor er jevn innsats mye bedre enn skippertak i dette faget. Temaene bygger på hverandre: forstår du kreftene og likevekten skikkelig tidlig, går resten mye lettere. Mekanikk 1 er på mange måter selve grunnmuren for det du lærer senere, og det er langt lettere å bygge videre på noe du har blitt trygg i.

Øvingene er det beste verktøyet du har. Det er her du faktisk bygger forståelsen, og det er den samme typen oppgaver du møter til eksamen. Målet med dette kompendiet er å vise deg hvordan du skal tenke og gå fram. Når du først har fått tak i metoden, blir teorien mye lettere å lære seg.

1.2 Om eksamen

Den gode nyheten først: eksamen i Mekanikk 1 byr på få overraskelser. Oppgavetypene går igjen, og oppgavene ligner på det du har sett i løpet av semesteret. Det er sjelden idéen i en oppgave som er vanskelig.

Der det svikter, er på gjennomføringen. Oppgavene har mange steg, og det er lett å rote det til underveis. En fortegnsfeil her, en glemt komponent der, og det blir umulig å regne oppgaven. Du må holde tunga rett i munn hele veien. Dette er også hovedgrunnen til at mengdetrening lønner seg: jo flere oppgaver du har regnet, jo mer automatiske blir stegene. Da bruker du mindre hode på selve mekanikken i hvert steg, og har mer å gå på til å oppdage feil. Dette kompendiet inneholder relevante oppgaver fra starten av så du tidlig ser hvordan eksamensoppgaver kan se ut.

To konkrete vaner er verdt å ta med seg fra første stund. Den første handler om føring. Før besvarelsen ryddig. En sensor kan ha et par hundre besvarelser å rette, og en oppgave som er lett å følge med tydelige figurer (bruk linjal!) og svar som er lette å finne, gjør et godt inntrykk. Et godt helhetsinntrykk kan i grensetilfeller vippe karakteren opp. Sett gjerne to streker under svaret, og sørg for at sensor slipper å lete etter det i et virvar av tall.

1.3 Hva faget gir deg videre

Mekanikk 1 er introduksjonen til en hel rekke fag du skal ha senere, og det er grunnlaget de bygger på.

Spesielt Mekanikk 2 forutsetter at du faktisk har forstått stoffet herfra. Der forventes det for eksempel at du kan lastvirkningsdiagrammer så godt at du nesten kan lese dem rett ut av en tegning, uten å måtte regne alt fra bunnen hver gang. Klarer du ikke det, bruker du krefter på grunnleggende ting mens de andre er videre på det faget egentlig handler om.

Innsatsen du legger inn nå, er altså ikke bare for å komme deg gjennom ett enkelt fag. Du legger grunnmuren for alt som kommer etterpå. Tar du dette steget skikkelig, slipper du å slite med det samme om igjen senere.

1.4 Repetisjon fra videregående

I statikk skal du hele tiden dele opp krefter og bruke litt geometri. Du trenger ikke avansert matematikk, men du må være rask og trygg på det grunnleggende innen trigonometri. Her er en oppfriskning rundt krefter.

1.4.1 Trigonometri

Alt vi trenger, handler om den rettvinklede trekanten. I en rettvinklet trekant kaller vi den lengste siden, den som ligger rett overfor den rette vinkelen, for hypotenusen. De to andre sidene kalles kateter. Ser vi på en av de spisse vinklene, her $\alpha$, får katetene navn etter hvor de ligger i forhold til den: den kateten som ligger rett overfor $\alpha$ er den motstående kateten, og den som ligger inntil $\alpha$ er den hosliggende kateten (se figur 1.1).

Figur 1.1: Rettvinklet trekant. Sett fra vinkelen $\alpha$ er $a$ den motstående kateten, $b$ den hosliggende kateten og $c$ hypotenusen.

De tre trigonometriske funksjonene er egentlig bare forhold mellom to av disse sidene:

Det fine er at disse forholdene bare avhenger av vinkelen $\alpha$, ikke av hvor stor trekanten er. Blåser du trekanten opp til dobbel størrelse, dobles alle sidene, men sinus, cosinus og tangens er akkurat de samme. Det er derfor en vinkel alene bestemmer disse verdiene, og det er et poeng vi får bruk for om litt.

Sidene henger sammen gjennom Pytagoras' setning,

så kjenner du to av sidene, finner du alltid den tredje. Og skulle du kjenne sidene, men mangle vinkelen, bruker du de omvendte funksjonene:

På kalkulatoren er dette gjerne tastene $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$.

1.4.2 Krefter

Fra fysikken på videregående husker du at en kraft er et dytt eller et drag, som kan sette ting i bevegelse eller endre bevegelsen. En kraft har både en størrelse og en retning, og er derfor en vektor. Vi måler krefter i newton, med symbolet N.

I dette kompendiet skriver vi vektorer med uthevet skrift. Vi bruker altså $\mathbf{F}$ for selve kraftvektoren, og vanlig $F$ for størrelsen (tallverdien) av den. En kraft tegnes som en pil, der lengden viser hvor stor kraften er og retningen viser hvilken vei den peker.

Den kraften du møter aller oftest, er tyngdekraften. Et legeme med masse $m$ trekkes mot jorda med en tyngde

der $g$ er tyngdeakselerasjonen. Legg merke til forskjellen på masse og tyngde, som er lett å blande: massen $m$ måles i kilogram og er den samme uansett hvor du befinner deg, mens tyngden $G$ er en kraft, måles i newton, og er det vi til daglig kaller «vekt». En sekk på 10 kg har altså en tyngde på $G = 10\,\text{kg}\cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 \approx 98\,\text{N}$.

Når vi regner i planet, legger vi et koordinatsystem med en horisontal $x$-akse (positiv mot høyre) og en vertikal $z$-akse (positiv oppover). Den tredje aksen, $y$, peker inn i planet, men den trenger vi ikke tenke på så lenge alt foregår i $xz$-planet.

En kraft peker sjelden pent langs en av aksene. Som regel står den på skrå, og da er det nyttig å dele den opp i en horisontal del $F_x$ og en vertikal del $F_z$. Dette kaller vi å dekomponere kraften.

Figur 1.2: Dekomponering av kraften $\mathbf{F}$ i en horisontal komponent $F_x$ og en vertikal komponent $F_z$. Sammen danner de en rettvinklet trekant med $\mathbf{F}$ som hypotenus.

Se på figur 1.2. Kraften $\mathbf{F}$ danner en vinkel $\theta$ med den horisontale aksen, og sammen med komponentene $F_x$ og $F_z$ lager den en rettvinklet trekant der $\mathbf{F}$ er hypotenusen. Sett fra vinkelen $\theta$ er $F_x$ den hosliggende kateten og $F_z$ den motstående. Fra trigonometrien over får vi da direkte:

Her er det verdt å stoppe et øyeblikk, for dette er noe mange blander. Hvilken komponent som får cosinus og hvilken som får sinus, avhenger av hvor vinkelen er målt fra, ikke av om komponenten er horisontal eller vertikal. Regelen som alltid holder, er denne: komponenten som ligger inntil vinkelen får cosinus, og komponenten rett overfor vinkelen får sinus. Måler du i stedet vinkelen fra den vertikale aksen, bytter cosinus og sinus plass. Husker du dette i stedet for å pugge «$F_x$ er alltid cosinus», slipper du å bomme den dagen oppgaven er snudd på hodet.

Den andre veien er like grei. Har du komponentene, finner du kraftens størrelse med Pytagoras og retningen med tangens: