I énvariabel kalkulus (som du forhåpentligvis har hatt før dette kurset) har det vært fokus på funksjoner som $y = f(x)$ eller $x = g(y)$ . Funksjoner på formen $y = f(x)$ krever at det er én entydig $y$ -verdi for hver $x$ -verdi (og vice versa for $x = g(y)$ ). Mange kurver i planet, som sirkler og ellipser, bryter denne entydigheten og lar seg derfor ikke beskrive som funksjoner i vanlig forstand.

Dette er en del av motivasjon for å heller jobbe med parametriseringer av kurver, noe som er en sentral del av dette kurset. Det er derfor først og fremst viktig at en behersker å jobbe med parametriseringer slik som med énvariable funksjoner, noe som er hovedfokuset i dette kapittelet.

Eksempel på en parametrisert kurve $\mathcal{C}$ for $t \in [a,b]$ .

Definisjon: Parametrisert kurve

En parametrisert kurve $\mathcal{C}$ i $\mathbb{R}^2$ (i planet) er et ordnet par av funksjoner $(f,g)$ som begge er kontinuerlig på et intervall $I$ . Ligningene under utgjør en parameterframstilling av kurven, der $t$ kalles parameteren.

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \quad t \in I

Eksempel: Parametrisering av halvsirkel

En halvsirkel i $xy$ -planet kan beskrives som

\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y \geq 0 \end{cases}

Denne kan parametriseres på flere vis, som

\begin{cases} x = t = f(t) \\ y = \sqrt{1-t^2} = g(t) \end{cases} \quad -1 \leq t \leq 1

og med bruk av trigonometriske funksjoner

\begin{cases} x = \cos(t) = f(t) \\ y = \sin(t) = g(t) \end{cases} \quad 0 \leq t \leq \pi

Halvsirkelen vi ønsker å beskrive.

Vi kan se at begge disse er gyldige svar siden

x^2 + y^2 = (f(t))^2 + (g(t))^2 = t^2 + \left(\sqrt{1-t^2}\right)^2 = t^2 + 1 - t^2 = 1

x^2 + y^2 = (f(t))^2 + (g(t))^2 = \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1

og både $y = \sqrt{1-t^2}$ og $y = \sin(t)$ er større eller lik 0 på hver sine respektive intervaller. Dessuten har disse to parametriseringene forskjellig orientering, altså når $t$ øker kan vi si at grafen tegnes enten med klokken eller mot klokken. For den første parametriseringen tegnes grafen fra venstre til høyre (med klokken), mens det er motsatt for den andre parametriseringen.

Merknad

En parametrisert kurve har alltid en orientering. Retningen svarer til økende verdier av parameteren $t$ på intervallet parameterframstillingen er definert for.

Det er følgelig vanlig at en oppgir et intervall for parameteren(e) i parameterframstillingen. Hvis ikke et intervall er oppgitt, antar en at $t \in \mathbb{R}$ .

1.2 Stigningstall

I likhet med vanlige énvariable funksjoner, er det ofte slik at en er interessert i å beskrive stigningen til en gitt kurve.

I énvariabel kalkulus ble det gjort rede for begrepet deriverbarhet. I dette kurset vil det i størst grad være snakk om glatthet i stedet for deriverbarhet, som kan forstås som et mer generalisert begrep for alle slags kurver, og som vi kommer til å møte på flere ganger senere.

En måte å definere glatthet for en parametrisert kurve $\mathcal{C}$ , er at den er glatt hvis den har en kontinuerlig varierende tangent. Måten en kan forstå dette på er at en parametrisert kurve må være kontinuerlig og ha en tangent i hvert punkt på kurven. Glatthet til en funksjon kan da forstås som at den både er deriverbar og den deriverte funksjonen er kontinuerlig.

Teorem: Stigningstall

La kurven $\mathcal{C}$ være gitt ved

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \quad t \in I

der $f'$ og $g'$ er kontinuerlig på et intervall $I$ .

(i) Hvis $f'(t) \neq 0$ for alle $t \in I$ , så er $\mathcal{C}$ glatt, og har en tangent med stigningstall

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{g'(t)}{f'(t)}.

(ii) Hvis $g'(t) \neq 0$ for alle $t \in I$ , så er $\mathcal{C}$ glatt, og har en normal med stigningstall

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{f'(t)}{g'(t)}.

Dette teoremet sier da i korte trekk at kurven $\mathcal{C}$ er glatt på et intervall dersom både $f$ og $g$ er kontinuerlig deriverbare, og at ikke de deriverte $f'(t)$ og $g'(t)$ er 0 samtidig. Hvis en finner punkter hvor både $f'(t) = 0$ og $g'(t) = 0$ samtidig, kan en ikke bestemme om kurven er glatt uten videre undersøkelser.

Eksempel: Horisontal og vertikal tangent

Gitt den parametriserte kurven $\mathcal{C}$

\begin{cases} x = t^3 - 3t = f(t) \\ y = 3t^2 - 9 = g(t) \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

der $f'(t) = 3t^2 - 3$ og $g'(t) = 6t$ . Vi finner den horisontale tangenten ved å løse

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = g'(t) = 0 \iff 6t = 0 \iff t = 0.

Altså tangerer den horisontale tangenten punktet $(f(0), g(0)) = (0, -9)$ .

I tillegg kan vi finne den vertikale tangenten ved å løse

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f'(t) = 0 \iff 3t^2 - 3 = 0 \iff 3(t+1)(t-1) = 0 \iff t = \pm 1.

Dermed er det en vertikal tangenten som tangerer punktene $(f(-1), g(-1)) = (2, -6)$ og $(f(1), g(1)) = (-2, -6)$ .

Eksempel: Glatt kurve

La $\mathcal{C}$ være gitt ved

\begin{cases} x = t^3 = f(t) \\ y = t^6 = g(t) \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

der $f'(t) = 3t^2$ og $g'(t) = 6t^5$ . Vi kan observere at $f'(t) = g'(t) = 0$ for $t = 0$ . Dermed vet vi ikke om kurven er glatt uten videre. Dessuten, ved omskrivning til kartesisk form, finner vi at

(x(t))^2 = (t^3)^2 = t^6 = y(t) \iff y = x^2

er en kontinuerlig deriverbar funksjon, som medfører at parametriseringen er glatt.

1.3 Areal

Vi er allerede kjent med at en kan beregne arealet begrenset av en vilkårlig kurve gitt ved $y = y(x)$ og $x$ -aksen fra $x = a$ til $x = b$ ved å beregne integralet

A = \int_{x_1}^{x_2} y(x)\,\mathrm{d}x.

Det er også mulig å gjøre dette for parametriserte kurver hvis vi skriver om integralet til et integral kun med variabelen $t$ , hvor $x = f(t)$ og $y = g(t)$ :

A = \int_{x_1}^{x_2} y\,\mathrm{d}x = \int_{t=a}^{t=b} g(t)\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}t = \boxed{\int_{t=a}^{t=b} g(t)\,f'(t)\,\mathrm{d}t.}

1.4 Buelengde

La kurven $\mathcal{C}$ være en glatt, parametrisert kurve gitt ved

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \quad t \in [a,b]

Vi utleder buelengdeelementet, altså avstanden mellom to punkter som ligger svært nær hverandre på kurven $\mathcal{C}$ , som er gitt ved Pytagoras' setning:

(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \xRightarrow{\Delta s > 0} \Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\cdot\Delta t.

Ved å summere sammen alle buelengdelementene på intervallet $I$ , når $\Delta t \to 0$ slik at $\frac{\Delta x}{\Delta t} \to \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ og $\frac{\Delta y}{\Delta t} \to \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ , kan en uttrykke buelengden til kurven $\mathcal{C}$ på intervallet $I$ som integralet

\boxed{s = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,\mathrm{d}t.}

Eksempel: Buelengde av parametrisert kurve

Vi skal bestemme buelengden til den parametriserte kurven

x(t) = 3\cos(3t), \quad y(t) = 3\sin(3t), \quad 0 \leq t \leq 2\pi.

Beregner den deriverte av hver funksjon med hensyn på parameteren $t$ og finner at

x'(t) = 3(-3\sin(3t)) = -9\sin(3t)

y'(t) = 3(3\cos(3t)) = 9\cos(3t)

Finner buelengden ved å integrere opp alle buelengdeelementene på intervallet til $t$ :

\int_0^{2\pi} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{81\sin^2(3t) + 81\cos^2(3t)}\,\mathrm{d}t

= \int_0^{2\pi} \sqrt{81}\underbrace{\sqrt{(\sin^2(3t) + \cos^2(3t))}}_{=1}\,\mathrm{d}t = 9\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t = 18\pi.

1.5 Polarkoordinater

Sammenhengen mellom kartesiske koordinater (som er i $xy$ -planet) og polarkoordinater (som er i $r\theta$ -planet) er gitt av følgende ligninger

\boxed{x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta).}

Her er $r$ avstanden fra origo og $\theta$ vinkelen mellom $x$ -aksen (målt i radianer).

Fra sammenhengen over fremkommer det at

\boxed{x^2 + y^2 = r^2, \quad \tan(\theta) = \frac{y}{x}.}

Sammenhengen mellom kartesiske og polarkoordinater.

Eksempler: Omskriving fra kartesisk til polarform

1 Gitt den kartesiske ligningen $y = x^2$ , kan vi skrive den om på polarform ved å innføre

x = r\cos(\theta) \quad \text{og} \quad y = r\sin(\theta),

hvilket gir at

r\sin(\theta) = r^2\cos^2(\theta) \iff r = \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \frac{1}{\cos(\theta)}\cdot\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \sec(\theta)\tan(\theta).

2 Gitt den kartesiske ligningen $x^2 + y^2 = x + y$ , kan vi skrive den om på polarform ved å innføre

x = r\cos(\theta) \quad \text{og} \quad y = r\sin(\theta),

hvilket gir at

r^2\cos^2(\theta) + r^2\sin^2(\theta) = r\cos(\theta) + r\sin(\theta)

r^2\underbrace{\left(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)\right)}_{=1} = r\cos(\theta) + r\sin(\theta) \iff r = \cos(\theta) + \sin(\theta).

Merknad

(i) Både $r$ og $\theta$ kan være negative.

$\theta < 0$ betyr at vi går med klokken.
$r < 0$ betyr at vi går i diametralt motsatt retning altså at $\theta_{\text{ny}} = \theta + \pi$ .

(ii) Representasjon i polarkoordinater er ikke unik, f.eks.

$[r, \theta] = [r, \theta + 2\pi k]$ , hvor $k$ er et heltall, gir et heltall antall omdreininger til samme utgangspunkt.
$[0, \theta]$ svarer til origo uansett hva $\theta$ er.

1.6 Stigningstall, areal og buelengde i polarkoordinater

Siden vi nå har et nytt koordinatsystem vi kan beskrive funksjoner i, ønsker vi en måte å finne arealet begrenset av en vilkårlig kurve $\mathcal{C}$ gitt ved $r = f(\theta)$ , $\alpha \leq \theta \leq \beta$ .

Vi kan utlede formelen for arealet innesluttet av en kurve i polarkoordinater. Arealet til en liten sirkelsektor kan tilnærmes til

\mathrm{d}A = \frac{\mathrm{d}\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\,\mathrm{d}\theta.

Summerer en sammen alle slike små arealelementer, kan vi uttrykke summen som et integral

\boxed{A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta (f(\theta))^2\,\mathrm{d}\theta.}

Arealet A begrenset av grafen til f(θ) og linjene θ = α og θ = β

Arealet A begrenset av grafen til $f(\theta)$ og linjene $\theta = \alpha$ og $\theta = \beta$ .

Eksempel: Areal til kronblader

Kurven gitt ved $r(\theta) = 2\cos(4\theta)$ har et nullpunkt hver halve periode, på grunn av periodisiteten til $\cos(k\theta)$ .

Antall kronblader for $0 \leq \theta \leq 2\pi$ kan vi da finne ved å beregne perioden

p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2},

hvilket gir at antall kronblader er $\frac{2\pi}{p/2} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$ . Vi kan da beregne det totale arealet begrenset av kurven gitt ved $f(\theta) = 2\cos(4\theta)$ ved å først finne arealet til ett kronblad

A_{\text{kronblad}} = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta (r(\theta))^2\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\int_{-p/4}^{p/4} 4\cos^2(4\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2}\left[\theta + \frac{1}{4}\sin(8\theta)\right]_{-\pi/8}^{\pi/8} = \frac{\pi}{4}

hvor det er brukt at $\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\phi))$ . Dermed er arealet av alle kronbladene

A_{\text{total}} = 8 \cdot A_{\text{kronblad}} = 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi.

Buelengden av kurven $\mathcal{C}$ gitt ved $r = f(\theta)$ , for $\alpha \leq \theta \leq \beta$ , er

\boxed{s = \int_\alpha^\beta \sqrt{(f(\theta))^2 + (f'(\theta))^2}\,\mathrm{d}\theta.}

1.7 Kjeglesnitt

I flervariabel kalkulus er det ofte en støter på enkelte kurvetyper, for eksempel hvis en skal beskrive skjæringen mellom 3-dimensjonale flater. Noen av de viktigste kurvetypene kan beskrives som 'kjeglesnitt', altså skjæringen mellom et plan og to sammenkoblede kjegler.

Ellipse og sirkel

En ellipse kan beskrives av ligningen

\boxed{\frac{1}{a^2}(x - x_0)^2 + \frac{1}{b^2}(y - y_0)^2 = 1}

der $a$ og $b$ er størrelsen på halvaksene, og ellipsen er sentrert rundt punktet $(x_0, y_0)$ .

Dersom $a = b$ i ligningen for en ellipse, får vi en sirkel beskrevet av ligningen

\boxed{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2}

der $r$ er radiusen til sirkelen, og sirkelen er sentrert rundt punktet $(x_0, y_0)$ . Det er disse to ligningene vi kommer til å møte oftest.

Det er også to andre typer kjeglesnitt, parabler og hyperbler, riktignok ikke like viktig i dette kurset, men vi kan fremdeles støte på de.

Parabel

En parabel kan beskrives av ligningene

x^2 = 4ay \quad \text{og} \quad y^2 = 4ax.

Hyperbel

En hyperbel er beskrevet av ligningene

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{og} \quad \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.

Eksempel: Kjeglesnitt

Vi skal identifisere og skissere mengden av punkter i planet som tilfredsstiller ligningen

3x^2 - 6x + y^2 = 0.

Denne ligningen lukter det mest ellipse av, når vi direkte sammenligner den med alle de generelle ligningene for kjeglesnitt som har blitt gjennomgått. Litt algebraisk triksing på venstre side gjør at vi kan bekrefte dette:

3x^2 - 6x + y^2 = 3(x^2 - 2x) + y^2 = 3\left((x-1)^2 - 1\right) + y^2 = 3(x-1)^2 - 3 + y^2,

hvor det er brukt at $(x-1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x$ . Dermed blir

3x^2 - 6x + y^2 = 0 \iff 3(x-1)^2 + y^2 = 3 \iff (x-1)^2 + \frac{1}{3}y^2 = 1.

Dette kan vi gjenkjenne som en ellipse med halvakser $a = 1$ og $b = \sqrt{3}$ , som er sentrert rundt punktet $(1, 0)$ .

Matematikk 3

Forord

1. Kurver i planet

1.1 Parametriserte kurver

1.2 Stigningstall

1.3 Areal

1.4 Buelengde

1.5 Polarkoordinater

1.6 Stigningstall, areal og buelengde i polarkoordinater

1.7 Kjeglesnitt

Ellipse og sirkel

Parabel

Hyperbel

Vektorvaluerte funksjoner av én variabel er låst

Vektorfelt og integrasjon er låst

Divergens og curl er låst

Rekker er låst

Interpolasjon, regresjon og markovkjeder er låst

Formelsamling er låst