Forord

Dette kompendiet er et lærehefte som prøver å gi en lettfattet, men grundig innføring i faget TMA4411 Matematikk 2B ved NTNU, som omfatter lineær algebra, differensialligninger og flervariabel analyse. Kompendiet dekker alle de sentrale sidene ved faget og gir eksamensrettede eksempler med fokus på forståelse og anvendelse. Likevel er det ikke en erstatning for den gjeldende pensumboken eller forelesningene, men kan fungere som et springbrett til å forstå og anvende sentrale konsepter.

Det er en forutsetning at du allerede har hatt énvariabel kalkulus og litt lineær algebra (som TMA4400 Matematikk 1 dekker) før du tar dette emnet, og at du for øvrig kan dra nytte av kompendiet.

Mange av oppgavene i kompendiet er fra tidligere eksamener i TMA4110/TMA4115 Matematikk 3 og TMA4105 Matematikk 2. Underveis i kompendiet er det gjennomgang av metoder og tips til hvordan en kan løse typiske eksamensoppgaver. På slutten av kompendiet er det en kort oppsummering med formler og andre nyttige sammenhenger det er greit å kjenne til.

Stoff med (typisk) lav eksamensrelevans, herunder beviser og enkelte rigorose definisjoner, er i stor grad utelatt. MERK! Det kan være enkelte mangler knyttet til pensumstoffet, da dette kompendiet er skrevet før faget har blitt undervist. I tillegg kan det finnes eksempeloppgaver som ikke er dekket her, men som likevel er eksamensrelevante. Det anbefales derfor at du også bruker emnets øvrige ressurser for alt det er verdt. Ikke glem at mengdetrening er måten flest lærer best på!

Lykke til med eksamen!

Skrevet av Frederik Alexander Ådlandsvik og Herman Songe-Aakre.

1. Lineær uavhengighet

Lineær uavhengighet handler om utspenning av vektorer, der det kan være overflødige vektorer. Etter hvert kan vi bruke lineær uavhengighet til å lære mer om dimensjoner.

Vi har allerede sett på lineærkombinasjoner og spenn fra før av.

Eksempel: Overflødig vektor

Hvis vi har to vektorer $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ og $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ så ser vi at spennet til disse vektorene er $\mathbb{R}^2$ ettersom enhver vektor $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$ kan skrives som en lineærkombinasjon av $\mathbf{v}_1$ og $\mathbf{v}_2$ .

Om vi legger til en tredje vektor $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ så ser vi at om vi tar spennet til alle tre vektorene $\text{Sp}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ så er det fortsatt $\mathbb{R}^2$ ; vi har en overflødig vektor.

Hvordan vet vi om en vektor er overflødig? Svaret ligger i lineær uavhengighet.

1.1 Definisjonen av lineær uavhengighet

Definisjon: Lineær uavhengighet

En mengde vektorer $\mathbf{v}_1,\ \mathbf{v}_2,\ \cdots,\ \mathbf{v}_n$ er lineært uavhengige om ligningen

x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + \cdots + x_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}

kun har én løsning, hvor denne løsningen er den trivielle løsningen $x_1 = 0,\ x_2 = 0,\ \cdots,\ x_n = 0$ .
Hvis dette ikke er tilfellet sies vektorene å være lineært avhengige.

Hvis vektorene er lineært avhengige betyr dette at minst én av vektorene er overflødig. Dette er fordi man kan skrive en vektor som en sum av de andre vektorene.

Om vi går tilbake til det forrige eksempelet så ser vi at $x_1 = 1,\ x_2 = 2,\ x_3 = -1$ er en ikke-triviell løsning på ligningen $x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + x_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ . Dermed er vektorene lineært avhengige.

Lineær uavhengighet for to vektorer

Om vi har to vektorer u og v og hvis vi kan skrive den ene vektoren lik den andre ganger et tall $\mathbf{u} = c\mathbf{v}$ så er de lineært avhengige. Hvis ikke så er de lineært uavhengige.

1.2 Hvordan sjekke lineær uavhengighet?

Om vi setter en mengde vektorer i en matrise har vi fire måter å sjekke om de er lineært uavhengige på.

Teorem: Fire ekvivalente påstander

Vi har en matrise med kolonnevektorer som kolonner $A = \begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n\end{bmatrix}$ . Påstandene nedenfor er alle sanne om en av de er sanne, og alle usanne om en av de er usanne.

Kolonnene i $A$ er lineært uavhengige.
Ligningen $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ har bare den trivielle løsningen $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ .
Vi får ingen frie variabler når vi løser $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ .
Når vi gausseliminerer $A$ , får vi et pivotelement i hver kolonne.

Dette betyr at om vi har en matrise med vektorer $\mathbf{v}_1,\ \mathbf{v}_2,\ \cdots,\ \mathbf{v}_n$ og én av påstandene ovenfor er sanne, så er vektorene lineært uavhengige.

Dimensjoner og uavhengighet

Om vi har $n$ lineært uavhengige vektorer så utspenner disse vektorene en mengde med dimensjon $n$ . Om disse vektorene er i $\mathbb{R}^n$ så utspenner de $\mathbb{R}^n$ .

Om antall vektorer $n$ i $\mathbb{R}^m$ er høyere enn dimensjonen $m$ til $\mathbb{R}^m$ så må vektorene være lineært avhengige.

1.3 Eksamensrettede oppgaver

1. Se på følgende vektorer i $\mathbb{R}^3$ :

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}3\\-3\\-6\end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-2\\2\\4\end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}1\\-1\\8\end{bmatrix}

Er vektorene $\mathbf{v}_1$ , $\mathbf{v}_2$ , og $\mathbf{v}_3$ lineært uavhengige?

2. Betrakt vektorene

\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}, \quad \ldots, \quad \begin{bmatrix}99\\100\end{bmatrix}

i $\mathbb{R}^2$ . Vis at de utspenner $\mathbb{R}^2$ . Er de lineært uavhengige? Begrunn svaret ditt.

3. Betrakt vektorene

\begin{bmatrix}1\\ \vdots\\99\end{bmatrix} \quad \text{og} \quad \begin{bmatrix}2\\ \vdots\\100\end{bmatrix}

i $\mathbb{R}^{99}$ . Er de lineært uavhengige? Hva er dimensjonen til vektorenes lineære utspenn? Begrunn svarene dine.

▶ Løsningsforslag

Eksempeloppgave 1

Det er flere måter vi kan gå fram på for å løse denne oppgaven. Det enkleste er kanskje å gausseliminere matrisen bestående av vektorene som kolonner og sjekke om vi får et pivotelement i hver kolonne. Vi skriver $A$ for å så gausseliminere ( $\sim$ ).

A = \begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -2 & 1\\-3 & 2 & -1\\-6 & 4 & 8\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}3 & -2 & 1\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Vi får bare to pivotelementer (og en fri variabel) og dermed er vektorene ikke lineært uavhengige.

Vektorene er ikke lineært uavhengige (de er lineært avhengige) siden vi kun får 2 pivotelementer i gausselimineringen, og dermed har én fri variabel.

Eksempeloppgave 2

For å vise at de utspenner $\mathbb{R}^2$ trenger vi bare å finne to lineært uavhengige vektorer, ettersom deres spenn vil være $\mathbb{R}^2$ .

Vi velger $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ og $\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ . Vi må altså vise at det ikke finnes $c$ slik at $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = c\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ .

Måten vi gjør det på er å anta at $c$ finnes ved å dele 1 på 2 og får $c = \frac{1}{2}$ . Men ettersom $3 \cdot \frac{1}{2} \neq 2$ så har vi en selvmotsigelse og $c$ finnes dermed ikke. Våre to vektorer i $\mathbb{R}^2$ må da være lineært uavhengige og utspenner $\mathbb{R}^2$ .

Når det kommer til alle 99 vektorenes uavhengighet så vet vi at antall vektorer er mer enn dimensjonen 2 til $\mathbb{R}^2$ og dermed er vektorene avhengige.

To av vektorene (f.eks. $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ og $\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$ ) er lineært uavhengige og utspenner $\mathbb{R}^2$ . Alle 99 vektorene er lineært avhengige siden antall vektorer (99) overskrider dimensjonen til $\mathbb{R}^2$ (2).

Eksempeloppgave 3

Igjen så har vi to vektorer og bruker samme metode med å anta at $c$ finnes og å vise at $\frac{1}{2} \neq \frac{99}{100}$ . Dermed er vektorene lineært uavhengige.

Vi har to lineært uavhengige vektorer, dermed har vektorenes lineære utspenn dimensjon lik 2.

De to vektorene er lineært uavhengige (siden $\frac{1}{2} \neq \frac{99}{100}$ ). Dimensjonen til vektorenes lineære utspenn er 2.