Forord

Dette kompendiet er et lærehefte som prøver å gi en lettfattet, men grundig innføring i faget TMA4400 Matematikk 1 ved NTNU, som omfatter énvariabel kalkulus og en del grunnleggende lineær algebra. Kompendiet dekker alle de sentrale sidene ved faget og gir eksamensrettede eksempler med fokus på forståelse og anvendelse. Likevel er det ikke en erstatning for den gjeldende pensumboken eller forelesningene, men kan fungere som et springbrett til å forstå og anvende sentrale konsepter.

Det er en forutsetning at du allerede har hatt kombinasjonen Matematikk R1 + R2, eller tilsvarende, før du tar dette emnet, og at du for øvrig kan dra nytte av kompendiet.

Mange av oppgavene i kompendiet er fra tidligere eksamener i TMA4100 Matematikk 1 og TMA4100/TMA4115 Matematikk 3. Underveis i kompendiet er det gjennomgang av metoder og tips til hvordan en kan løse typiske eksamensoppgaver. På slutten av kompendiet er det en kort oppsummering med formler og andre nyttige sammenhenger det er greit å kjenne til.

Stoff med (typisk) lav eksamensrelevans, herunder beviser og enkelte rigorøse definisjoner, er i stor grad utelatt. MERK! Det kan være enkelte mangler knyttet til pensumstoffet, da dette kompendiet er skrevet før faget har blitt undervist. I tillegg kan det finnes eksempeloppgaver som ikke er dekket her, men som likevel er eksamensrelevante. Det anbefales derfor at du også bruker emnets øvrige ressurser for alt det er verdt. Ikke glem at mengdetrening er måten flest lærer best på!

Lykke til med eksamen!

Skrevet av Herman Songe-Aakre og Ylva Schüch.

Kapittel 1

Komplekse tall

Komplekse tall kan virke forvirrende og nytt, men de har mange likheter med vanlige tall. Grunnen til at det blir introdusert tidlig, er at det har mange bruksområder.

Når man skal løse ligninger kommer man på et punkt der de reelle tallene ikke strekker til. Ta for eksempel ligningen x² = −1. Denne ligningen er umulig å løse i ℝ ettersom det ikke finnes reelle tall som, opphøyd i annen, er mindre enn null.

I dette kapittelet introduserer vi tall som løser slike ligninger, og vi vil da ha en «komplett» samling med tall som kan brukes til å løse alle ligninger. Den største forskjellen er at de består av to deler – en imaginær del og en reell del.

1.1 Den imaginære enheten og det komplekse plan

Den imaginære enheten i er svaret på spørsmålet «hva er kvadratroten av −1?». Den er definert slik at i² = −1. På en måte har vi prøvd å finne en løsning på ligningen x² = −1, og funnet opp et tall i som er en løsning.

Tallet i er utenfor den reelle tallinjen. Om man plusser tallet i med for eksempel tallet 2 så får man tallet 2 + i. Dette er ikke et reelt tall og det ligger i det såkalte komplekse planet. Et komplekst tall er definert som z = a + bi hvor a og b er reelle tall.

Det komplekse planet med tallet 2 + i plassert.

Når vi skriver z = a + bi så ligner dette på koordinater og kalles for den kartesiske formen til et komplekst tall. Vi skal senere se på en nyttig måte å skrive komplekse tall på som kalles for polarformen til et komplekst tall.

1.2 Operasjoner på komplekse tall

La z = a+bi og w = c+di være komplekse tall. Her er reglene for de fire operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. For addisjon og subtraksjon er det først en visualisering av komplekse tallene som vektorer.

Addisjon

Når vi adderer komplekse tall legger vi sammen de reelle delene og de imaginære delene hver for seg:

Tallet z = 1 + i plusset med tallet w = −2 + 3i.

Numerisk regel for addisjon

For to komplekse tall z = a + bi og w = c + di:

z + w = (a + c) + (b + d) i

Tallet z = 3 + i plusset med tallet w = −3i.

Tallet z = 1 + 2i plusset med tallet w = 1 − 2i.

Subtraksjon

Ved subtraksjon trekker vi fra de reelle delene og de imaginære delene hver for seg:

Tallet z = 1 + i minus tallet w = 2 + 3i. Vektoren z − w går fra w til z.

Tallet z = 2 + i minus tallet w = −i.

Tallet z = 1 + i minus tallet w = 1 − i.

Numerisk regel for subtraksjon

For to komplekse tall z = a + bi og w = c + di:

z - w = (a - c) + (b - d) i

Multiplikasjon og divisjon

For multiplikasjon og divisjon av komplekse tall bruker vi følgende formler:

Multiplikasjon og divisjon

For z = a + bi og w = c + di:

z \cdot w = a c - b d + (b c + a d) i

z w = a c + b d + (b c - a d) i c 2 + d 2

Her er et eksempel på utregning av multiplikasjon og divisjon med komplekse tall. Senere skal vi se på en noen vakrere formler for disse to operasjonene ved hjelp av polarform og Eulers formel.

Eksempel: Multiplikasjon og divisjon

Ta z = 3 + 4i og w = 1 − 2i. Da har vi a = 3, b = 4, c = 1, d = −2.

z \cdot w = (3+4 i)(1-2 i) = 3 - 6 i + 4 i - 8 i 2 = 3 - 2 i + 8 = 11 - 2 i

For divisjon bruker vi formelen:

z w = 3+4 i 1-2 i = 3\cdot1 + 4\cdot(-2) + (4\cdot1 - 3\cdot(-2)) i 12 + (-2) 2 = 3 - 8 + (4 + 6) i 1 + 4 = -1 + 2 i

Konjugerte komplekse tall

La z = a + bi være et komplekst tall. Da har vi z̄ = a − bi (hvor z̄ leses «z konjugert»). z̄ er tallet man får ved å speile tallet z over den reelle tallinjen. Her er noen eksempler:

Tallet z = 1 + i og dets konjugerte z̄ = 1 − i speiles over den reelle aksen.

Tallet z = 2i og dets konjugerte z̄ = −2i.

Tallet z = 2 som ligger på den reelle aksen og z̄ = 2 (samme punkt).

Regneregler for konjugerte tall

z + w = z̄ + w̄ z - w = z̄ - w̄

z \cdot w = z̄ \cdot w̄ z w = z̄ w̄

z + z̄ = 2 a z - z̄ = 2 b i

1.3 Komplekse tall på polarform

En annen måte å skrive komplekse tall på, er polarform, som kanskje er en mer geometrisk og intuitiv form enn den kartesiske formen. Polarform kan spare mye tid, særlig når det gjelder multiplikasjon og divisjon.

Komplekse tall på polarform

Et komplekst tall på polarform skrives z = r(cos θ + i sin θ).

• r er avstanden fra origo til tallet på det komplekse planet.

• θ er rotasjonen (eller vinkelen) til tallet i det komplekse planet.

Rotasjonen begynner på null på den positive reelle aksen (til høyre). Når rotasjonen er på 90° så vil tallet være på den imaginære aksen. Fortsetter man 90° til så er man på den reelle negative aksen. Her er et tall med r = 1 rotert:

θ reell akse imaginær akse θ=π θ=0 π/2 3π/2

Det komplekse planet med enhetssirkelen.

Merk: Når vi snakker om rotasjon bruker vi både grader (°) og radianer. 2π ≈ 360°, π ≈ 180°, π/2 ≈ 90° osv. Radianer er det vanligste når det kommer til komplekse tall.

1.4 Konvertere til og fra polarform

Ved hjelp av Pythagoras' setning kan man enkelt konvertere fra polarform til kartesisk (rektangulær) form. La oss se på ett tall skrevet på polarform z = 2(cos π/6 + i sin π/6) i det komplekse planet. Vi tar den reelle delen Re z (langs den reelle aksen) og den imaginære delen Im z (langs den imaginære aksen) hver for seg slik at vi kan skrive tallet i kartesisk form.

θ Re z = r cos θ Im z = r sin θ r

Konvertering fra polarform. Det komplekse tallet z = r(cos θ + i sin θ) hvor vi bruker rettvinklet trekant.

Metode: Skrive på kartesisk form

La oss ta z = r(cos θ + i sin θ) som vi vil konvertere til kartesisk form z = a + ib. For å gjøre dette må vi finne a og b.

Vi tar den reelle og den komplekse delen hver for seg. Vi har r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ, altså Re z = r cos θ og Im z = r sin θ. På samme måte har vi Re z = a og Im z = b. Dette gir oss:

a = r cos θ b = r sin θ

Dermed har vi de to reelle tallene a og b og kan skrive z på kartesisk form z = a + ib.

Metode: Skrive på polarform

For å konvertere fra kartesisk form z = a + bi til polarform z = r(cos θ + i sin θ) har vi følgende formler:

r = \sqrt(a 2 + b 2)

θ = arctan b a for a > 0 arctan b a + π for a < 0 π/2 for a = 0, b > 0 3π/2 for a = 0, b < 0

Eulers formel

Eulers formel ligger veldig nært polarform. I stedet for å skrive z = r(cos θ + i sin θ) så skriver vi z = re^iθ. Det betyr det samme, men på grunn av regnereglene for potenser er det enda lettere å multiplisiere og dividiere på polarform.

Vi så tidligere noen knotete formler for multiplikasjon og divisjon. Det går helt fint å regne med disse på standard form (kartesisk form) når vi har enkle regnestykker, men om vi skal regne ut for eksempel (1 + i)⁴ kan det være fint med Eulers formel.

Definisjon: Eulers formel

For enhver reell θ:

e iθ = cos θ + i sin θ

Denne formelen gir flere nyttige resultater. Blant annet har vi at:

Teorem: Multiplikasjon med Eulers formel

e iθ \cdot e iα = e i (θ+α)

for alle θ, α ∈ ℝ

Vi ser at vi får mye mer praktiske formler for multiplikasjon og divisjon.

Multiplikasjon av komplekse tall ved hjelp av Eulers formel

La z = re^iθ og w = se^iα. Da har vi:

z \cdot w = rs e i (θ+α)

z w = r s e i (θ-α)

Her ser vi at vinklene til rotasjonene θ og α plusses sammen: å gange tallene sammen er det samme som å plusse sammen rotasjonen til tallene samtidig som vi ganger sammen lengdene (radiusene) r og s.

Eksempel: Multiplikasjon med Eulers formel

Nå kan vi regne ut (1 + i)⁴.

Først vite hvordan vi skriver 1 + i med hjelp av Eulers formel. Da skriver vi 1 + i på polarform. Vi har a = 1 og b = 1 som gir oss r:

r = \sqrt(a ² + b ²) = \sqrt(1² + 1²) = \sqrt2

Siden vi har a > 0 så finner vi θ:

θ = arctan b a = arctan 11 = arctan 1 = π 4 (= 45°)

På polarform har vi altså 1 + i = r(cos θ + i sin θ) = √2(cos π/4 + i sin π/4). Dette kan vi skrive ved hjelp av Eulers formel som √2e^iπ/4.

Dermed har vi:

(1 + i) 4 = (\sqrt2 e i π/4) 4 = \sqrt2 4 e i π/4\cdot4 = 4 e i π

Om vi vil ha tallet tilbake på kartesisk form, er det bare å konvertere som om vi konverterer fra polarform. Vi har da:

a = 4 cos π = -4

b = 4 sin π = 0

Dermed har vi (1 + i)⁴ = −4.

1.5 Metoder for løsning av eksamensoppgaver

Vi så nettopp at multiplikasjon av komplekse tall innebærer rotasjon. Denne rotasjonen forklarer noe som er viktig når man skal skissere løsninger på en ligning i to ledd av formen zⁿ = a: punktene er spredt rundt likt i en sirkel. Når det kommer til ligninger i til flere ledd blir problemene litt mer komplisert, men metodene er like enkle.

Når det kommer til ligninger i to ledd så er det nøksa likt hver gang man skal løse disse. Det gjelder å skrive tallene i polarform for å så finne en løsning ved hjelp av den n-te roten. Denne løsningen vil så gi alle de andre løsningene, siden de alle er likt spredt rundt i en sirkel.

Alle 9. røttene av 1, som ligger jevnt fordelt på enhetssirkelen.

Metode: Finn alle røttene og skisser dem, to ledd

1. Om zⁿ er på samme side som a, flytt om slik at vi har zⁿ = a eller zⁿ = −a.

2. Uansett hvordan a ser ut, skriv a på Eulers form re^iθ, som også er lik re^{i(θ + 2πk)}.

3. Opphøy i 1/n for å få z = ⁿ√r e^{i(θ/n + 2πk/n)}. Regn ut for k=0,1,…,n−1.

4. Tegn første rot og roter med

2π

i en sirkel for å tegne resten.

Det kan være interessant å kunne løse komplekse ligninger av annen- og tredjegrad. Med komplekse tall er det alltid en løsning på slike ligninger, ifølge algebraens fundamentalteorem, som er en viktig grunnpilar i matematikken vi holder på med her. Algebraens fundamentalteorem sier enkelt og greit: En n-te grads ligning har alltid n løsninger.

Algebraens fundamentalteorem

Et polynom

p (z) = z n + a n -1 z n -1 + \cdot \cdot \cdot + a 1 z + a 0

kan alltid faktoriseres på formen

\prod i =1 n (z - z i) = (z - z 0)(z - z 1) \cdot \cdot \cdot (z - z n),

der z_i ∈ ℂ er løsninger av ligningen

z n + a n -1 z n -1 + \cdot \cdot \cdot + a 1 z + a 0 = 0.

En n-te grads ligning har alltid n løsninger (inkludert komplekse løsninger).

Metode: Finn alle røttene og skisser dem, polynom

1. Om det er fjerdegradsligning med tre ledd, skriv w = z².

2. Om det er tredjegradsligning, finn én løsning z₀ (nesten alltid −2, −1, 1, eller 2) og faktoriser: (az²+bz+c)(z−z₀)=0.

3. Løs andregradsligningen med abc-formelen. Om ligningen var i fjerde grad, løs for w og finn z₀ = +√w₁, z₁ = −√w₁, z₂ = +√w₂, z₃ = −√w₂.

4. Skisser løsningene ved hjelp av rutenett i det komplekse planet.

I eksamensoppgavene er det typisk at det er én enkel løsning om det er tredjegraduspolynom. Ved hjelp av denne ene løsningen kan polynomet faktoriseres.

Disse to metodene vil sannsynligvis være nok til å løse de fleste oppgaver på eksamen om komplekse tall, men det er likevel viktig å ha en god forståelse av komplekse tall, da det kan komme andre oppgaver i tillegg.

Om man sitter fast på en annen type oppgave om komplekse tall, kan det hjelpe å skrive tallet på kartesisk form. Når man har en ligning på kartesisk form så vil alltid de reelle tallene være like de reelle tallene og de imaginære tallene like de imaginære. For eksempel kan vi dele ligningen a + ib = c + id i ligninger a = c og b = d ettersom de reelle og imaginære delene ikke kan være like om a, b, c og d er reelle.

1.6 Eksamensrettede oppgaver

La p(z) = z³ + 27. Finn alle røttene til p(z), skriv røttene på standardform og skissér røttene i det komplekse planet.
Finn alle løsningene til (z² + iz + 6)(z−1) = 0 for z ∈ ℂ og skissér disse i det komplekse planet.
Finn alle komplekse tall z som oppfyller ligningen (z+1)(z+1) = (z+i)(z+i). Skissér alle løsninger z i det komplekse planet.

▶ Løsningsforslag

Eksempeloppgave 1

Vi ser at det er to ledd og bruker tilsvarende metode. Da skriver vi z³ = −27.

Så skal vi skrive −27 i polarform. Vi har r = √((−27)²) = 27 og ettersom −27 < 0 så har vi θ = arctan

−27

+ π = π. Dermed har vi −27 = 27e^iπ. Vi skriver dermed −27 = 27e^iπ+2πk.

Dette gir oss z³ = 27e^iπ+2πk og vi opphøyer i 1/3 og får z = 3e^{i(π/3+2πk/3)}. Vi får da svar for k = 0, k = 1 og k = 2: z₀ = 3e^iπ/3, z₁ = 3e^iπ og z₂ = 3e^i5π/3.

For å skrive de i standardform regner vi ut ved hjelp av metoden for konvertering til kartesisk (standard) form.

a = Re z 0 = 3 \cdot cos(π/3) = 3/2

b = Im z 0 = 3 \cdot sin(π/3) = 3\sqrt3/2

z 0 = 3/2 + 3\sqrt3/2 i

Vi gjør det samme med z₁ og z₂ og får z₁ = −3 og z₂ = 3/2 − 3√3/2i. Da gjenstår det bare å tegne røttene. Det går an å tegne én rot for å så tegne resten slik at de er spredt rundt likt i en sirkel ved hjelp av rotasjon eller tegne direkte utifra koordinatene.

Alle løsninger til ligningen z³ + 27 = 0

Eksempeloppgave 2

Vi har en tredjegradusligningsog vi har allerede fått en løsning z₀ = 1 ettersom polynomet er faktorert med (z − 1).

Vi løser andregradsligningen med abc-formelen og får z₁ = −3i og z₂ = 1. Disse er enkle å tegne i det komplekse plan ettersom vi har dem i kartesisk form.

Alle løsninger til ligningen (z² + iz + 6)(z − 1) = 0

Eksempeloppgave 3

I denne oppgaven kan ingen av metodene brukes, og det er flere måter å løse den på. En teknikk som ofte å funker er å skrive z = a + bi, regn ut og se hva vi får:

(a + b i + 1)(a + b i + 1) = (a + b i + i)(a + b i + i)

(a + b i + 1)(a - b i + 1) = (a + b i + i)(a - b i - i)

Nå regner vi ut i første linje, så trekker vi fra begge sider i andre linje:

a ² - a b i + a + a b i + b ² + b i + a - b i + 1 = a ² - a b i - a i + a b i + b ² + b i + a i - b i + 1

2 a = 2 b

Dermed har vi at ligningen er sann for alle a og b slik at a = b. Dermed har vi løsningene z = a + ai for alle a ∈ ℝ. Dette kan vi skissere som en linje som går gjennom alle punkter (komplekse tall) med lik kompleks og reell verdi.

Skisse av løsningene z i det komplekse planet

Vil du lese videre?

Smakebiten stopper her. Få tilgang til alle 13 kapitlene i Matematikk 1 med eksamensrettede oppgaver og løsningsforslag.