Forord

Læreheftet er et sammendrag av pensum i de grunnleggende fysikkfagene ved NTNU. En enkel oversikt over hvilke kapitler som er relevant for ditt emne er gitt på neste side. Læreheftet er et kort og konsist sammendrag av pensum. Det er ikke ment som et alternativ til lærebøker, forelesninger og annen dybdeundervisning, men som et tillegg som forsøker å skape en oversikt i et stort pensum. I tillegg til å gi et sammendrag av pensum, er læreheftet alltid eksamensrelevant. Læreheftet kan også med fordel brukes som forberedelse til forelesning eller øving. Mange av eksemplene er gamle eksamensoppgaver, og disse gir en indikasjon på hva som forventes til eksamen. Finner du feil eller dårlige forklaringer i læreheftet, send gjerne en mail til post@lumenia.no eller send tilbakemeldingen via vår hjemmeside. Vi vil deretter raskt følge opp med oppdatering av trykkfeillisten. Du finner vår hjemmeside på www.lumenia.no

Lykke til på eksamen!

1. Lineær mekanikk

1.1 Bevegelse i en, to og tre dimensjoner

Første del av mekanikken overlapper 3FY fra videregående, så det er en stor fordel å ha tatt dette faget. Men det er fullt mulig å klare det uten å ha tatt 3FY.

Det er viktig å merke seg at i fysikken er mange størrelser gitt som vektorer, deriblant akselerasjon, fart og strekning. Vektorregning skal være kjent stoff fra videregående og matte 1. Legg også merke til at det gjennomgående benyttes betegnelsen "partikkel" på mange av objektene som blir omtalt i teksten. Det er fordi lineær mekanikk egentlig kun gjelder for punktlegemer. Det er likevel en bra tilnærming for virkelige legemer.

Her er noen grunnleggende formler som må kunnes:

\boldsymbol{v}(t) = \frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt} \tag{1.1a}

\boldsymbol{a}(t) = \frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt} \tag{1.1b}

Der r er avstand, v er fart og a er akselerasjon.

Det enkleste innen mekanikk er uten tvil rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon. Da kan vektorene forenkles til skalarer, og formlene blir enkle. Det er spesielt tre formler som bør kunnes. Legg merke til at det er rimelig lett å komme fra den ene til den andre, så egentlig trenger ikke alle disse å pugges. I disse formlene forflytter legemet seg kun i x-retning, med fart $v$ og akselerasjon $a$ .

v = at + v_0 \tag{1.2}

Ved integrasjon kommer vi fram til

x = \frac{at^2}{2} + v_0 t + x_0 \tag{1.3}

Fra likning 1.2 ser vi at

t = \frac{v - v_0}{a} \tag{1.4}

Ved å sette denne likningen inn i 1.3 får vi

v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0) \tag{1.5}

Dette kan utnyttes i mer kompliserte tilfeller, for eksempel prosjektilbaner. Vi skal her se på et eksempel der disse formlene blir brukt.

Eksempel 1.1.1 (Ballistikk)

Et prosjektil blir skutt ut av en kanon i origo. Prosjektilets utgangshastighet er $v_0$ . Se figur 1.1. Når treffer det bakken? Hvor langt har da prosjektilet kommet?

Prosjektilets bane — parabel med v0, v0x og v0y vektorer

Figur 1.1: Prosjektilets bane

Løsningsforslag: Vi kan se på bevegelsen som vektorsummen av to lineære bevegelser med konstant akselerasjon. Siden det er vakuum blir ikke prosjektilet bremset i x-retning (ingen luftmotstand), altså er akselerasjonen her null. I y-retning er det kun én ting som har innvirkning, og det er tyngden. Alt som faller fritt i tyngdefeltet får akselerasjonen g.

\boldsymbol{r}(t) = [x, y]

Denne vektoren peker ut prosjektilets posisjon som funksjon av tiden. y er høyden over bakken og x er horisontal avstand fra kanonen.

\boldsymbol{v}(t) = [v_x, v_y]

v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos\theta

x(t) = x_0 + v_0 t\cos\theta = v_0 t\cos\theta

siden prosjektilet starter i origo

v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin\theta - gt

y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 t\sin\theta - \frac{1}{2}gt^2

siden prosjektilet starter i origo. Legg merke til at $v_x = \dot{x}(t)$ og at $v_y = \dot{y}(t)$ . Når kulen har truffet bakken er $y = 0$ . Dette gir

v_0 t\sin\theta - \frac{1}{2}gt^2 = 0

som gir løsningene

t = 0 \quad \text{og} \quad t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}

Den første løsningen sier at prosjektilet hadde høyde 0 da den startet, noe vi visste fra før, og den andre gir tiden når kulen har truffet bakken. Da mangler vi bare avstanden kulen har reist:

x(t) = v_0 \frac{2v_0 \sin\theta}{g}\cos\theta = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}

1.1.1 Relativ bevegelse

Relativ bevegelse dreier seg om bevegelse i forhold til andre ting i bevegelse. Vi forklarer det her gjennom en tenkt situasjon: Om to personer beveger seg i forhold til hverandre, og begge observerer et objekt, hvordan opplever de situasjonen?

Gitt at A og B er to observatører i relativ bevegelse. Observatør A beregner farten til observatør B å være den relative hastigheten u. (I følge teorien om relativ bevegelse er fart, akselerasjon osv. relative størrelser.) Hastigheten til et objekt målt av A er $\boldsymbol{v}_A$ , og hastigheten til objektet målt av B er $\boldsymbol{v}_B$ . Da gjelder

\boldsymbol{v}_B = \boldsymbol{v}_A - \boldsymbol{u} \tag{1.6}

\boldsymbol{a}_B = \boldsymbol{a}_A - \frac{d\boldsymbol{u}}{dt} \tag{1.7}

Eksempel 1.1.2 (Landevei)

Bil A kjører rett sørover på E6 i 72 km/t. Bil B kjører rett nordover på E6 i 90 km/t. Begge passerer en ku som slentrer sørover i 0,9 km/t omtrent samtidig. Hvilken fart finner bil B ut at kua har? Betrakt bil A som ditt ståsted.

Figur 1.2: E6

Løsningsforslag: Dette kan gjøres på flere måter, men vi velger å gjøre det på en litt tungvint måte for å illustrere formlene ovenfor.

Vi sitter i bil A, så for oss ser kua ut til å ha en fart $\boldsymbol{v}_A = -72\,\text{km/t} + 0{,}9\,\text{km/t} = -71{,}1\,\text{km/t} = -19{,}75\,\text{m/s}$ . Bil B ser ut til å ha fart $\boldsymbol{u} = -72\,\text{km/t} - 90\,\text{km/t} = -45\,\text{m/s}$ . Da blir

\boldsymbol{v}_B = \boldsymbol{v}_A - \boldsymbol{u} = -19{,}75\,\text{m/s} + 45\,\text{m/s} = 25{,}25\,\text{m/s} = 90{,}9\,\text{km/t}

1.1.2 Newtons tre lover

All mekanikk er basert på Newtons 3 fundamentale lover.

Newtons første lov

Om summen av kreftene på et legeme er lik null, er legemet i ro eller beveger seg med konstant fart.

Newtons andre lov

Summen av kreftene på et legeme er lik legemets masse ganger dets akselerasjon, $\sum \boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$ .

Newtons tredje lov

Når et legeme A virker på et legeme B med en kraft, vil alltid B virke tilbake på A med en like stor men motsatt rettet kraft. (Kraft og motkraft virker på hvert sitt legeme)

1.2 Anvendelse av Newtons lover

1.2.1 Friksjon

Det finnes to typer friksjon. Statisk friksjon, som virker på legemer i ro, og kinetisk friksjon, som virker på legemer i bevegelse. Disse er gitt ved følgende formler:

f_{s,\max} = \mu_s N \quad (\text{statisk friksjon}) \tag{1.8a}

f_k = \mu_k N \quad (\text{kinetisk friksjon}) \tag{1.8b}

Den statiske friksjonskoeffisienten $\mu_s$ er større enn den kinetiske friksjonskoeffisienten $\mu_k$ . Det forklarer hvorfor det er mye lettere å dytte noe når gjenstanden først har kommet i bevegelse.

Grunnen til at det står "max" som subscript på den statiske friksjonskraften kan lettest illustreres med et eksempel.

Eksempel 1.2.1 (Flyttelasset)

Du har tenkt å flytte, hvilket inkluderer å lempe en større kasse ut i flyttebilen. Kassen har masse $m = 100\,\text{kg}$ . Du har dessverre sluntret unna styrketreninga i det siste og klarer bare å utøve en kraft $F = 100\,\text{N}$ på kassen. Den statiske friksjonskoeffisienten $\mu_s$ er på 0,4. Klarer du å dytte i gang kassen?

Løsningsforslag: Vi starter med å se på kreftene i y-retning. Siden kassen verken akselererer ned gjennom gulvet eller opp i atmosfæren, kan vi konkludere med at summen av kreftene i y-retning er 0 i henhold til Newtons 1. lov. Det vil si at tyngden av kassen akkurat oppveies av en like stor men motsatt rettet kraft, normalkraften. Altså $N = mg$ .

La oss så se på krefter i x-retning. Der har vi to krefter: $\boldsymbol{F}$ og $\boldsymbol{f}_s$ .

Tung last — kasse på flat overflate med krefter N, F og μN

Figur 1.3: Tung last

f_s = \mu_s N = 0{,}4 \cdot 100\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 392{,}4\,\text{N}

Ser vi på summen av kreftene i x-retning er den lik $-292{,}4\,\text{N}$ , noe som tilsier at kassen skulle fyke mot deg med en akselerasjon på $2{,}924\,\text{m/s}^2$ , noe som åpenbart ikke skjer.

Det er fordi statisk friksjon aldri er større enn akkurat stor nok til å forhindre at bevegelsen skjer.

For kinetisk friksjon er den så stor den kan hele tiden, så fremt dette ikke fører til at legemet stopper (for da blir det plutselig statisk friksjon som gjelder).

Eksempel 1.2.2 (Flyttelasset del 2)

Du har nå fått med deg et par sterke, vektløftende kamerater og fått dyttet i gang kassen. Dere har til og med vært forutseende nok til å bygge et skråplan slik at dere kan få kassen inn i flyttebilen. Hvor stor kraft må dere minst bruke for å holde kassen i bevegelse? Skråplanet har en helning på $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ , og den kinetiske friksjonskoeffisienten $\mu_k$ er på 0,02.

Løsningsforslag: Vi har nå følgende krefter på legemet: Vekten $\boldsymbol{W}$ , kraften dere yter $\boldsymbol{F}$ , normalkraften $\boldsymbol{N}$ og friksjonen $\boldsymbol{f}$ . Kreftene blir som på figur 1.4 fordi tyngden alltid peker rett ned, normalkraften alltid normalt på underlaget og friksjonen alltid parallelt med underlaget.

Vi velger origo i koordinatsystemet vårt midt i kassen og x-aksen oppover skråplanet og y-retningen normalt på skråplanet.

Dekomponering av $\boldsymbol{W}$ langs koordinataksene vi valgte gir $W_y = W\cos\alpha$ og $W_r = W\sin\alpha$ . (Enkel trigonometri.)

Vi starter med y-retningen. Newtons 1. lov gir oss igjen at $N = W_y = W\cos\alpha$ . I x-retning har vi derimot at $F - \mu_k N - W_y = 0$ . Summen av kreftene her er 0 fordi vi prøver å finne den minste kraften $F$ som trengs for å holde kassen i bevegelse (vi vil jo ikke slite oss helt ut). Den minste kraften nødvendig er den som akkurat oppveier for effekten av friksjon og tyngde.

Tung last del 2 — kasse på skråplan med krefter N, F, μN, W sinα, W cosα, W

Figur 1.4: Tung last del 2

F - \mu_k W\cos\alpha - W\sin\alpha = 0

F - \mu_k mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = 0

F = \mu_k mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = 840\,\text{N}

Eksempel 1.2.3 (Flyttelasset del 3)

Dere har fått kassen fram til det nye stedet ditt. Nå skal kassen ned det samme skråplanet som tidligere. Du har dyttet den i gang, og nå sklir den for egen maskin ned skråplanet som vist på figur 1.5. Hvilken akselerasjon har kassen?

Tung last del 3 — kasse sklir ned skråplan med krefter N, μN, W sinα, W cosα, W

Figur 1.5: Tung last del 3

Løsningsforslag: Dette blir mye samme situasjon som i eksempelet ovenfor, den eneste forskjellen er at nå virker friksjonen i positiv x-retning, og ikke i negativ x-retning som tidligere. I tillegg er kraften $F = 0$ . Vi velger å fortsette med positiv x-retning opp skråplanet.

$\boldsymbol{N}$ og $\boldsymbol{W}$ er som før, så vi ser bare på x-retningen. Vi må huske på at her er ikke summen av kreftene lik null, men lik ma, i henhold til Newtons 2. lov.

\mu_k mg\cos\alpha - mg\sin\alpha = ma

a = \mu_k g\cos\alpha - g\sin\alpha \approx -8{,}6\,\text{m/s}^2

Minustegnet betyr at kassen akselererer i negativ x-retning, altså ned fra skråplanet. Hadde vi fått positivt svar, ville det betydd at kassen akselererte oppover.

1.3 Sirkulær bevegelse

1.3.1 Sentripetalakselerasjon

Et legeme som beveger seg med konstant fart, $v$ , i en sirkel med radius $r$ har en akselerasjon som er rettet radielt mot senteret av sirkelen. Denne akselerasjonen kalles sentripetalakselerasjon:

a = \frac{v^2}{r} \tag{1.9}

I løpet av en periode har legemet tilbakelagt distansen $2\pi r$ . Om periodetiden er $T$ , blir farten:

v = \frac{2\pi r}{T} \tag{1.10}

1.3.2 Sentripetalkraft

Personer som står på innsiden av en roterende sirkel, vil føle en normalkraft fra underlaget, $F_{sent}$ som vist i figur 1.6. Denne normalkraften omtales av og til som sentripetalkraft:

F_N = ma_N = \frac{mv^2}{r} \tag{1.11}

En person som står inne i sirkelen vil føle at han eller hun står i ro og alt annet beveger seg. Siden personen selv ikke opplever at han eller hun akselererer ned gjennom gulvet eller opp mot sentrum i sirkelen, vil personen konkludere med at det er en kraft som virker i motsatt retning av sentripetalkraften, og er like stor. Dette gjør at personen føler en "kunstig tyngde" som tilsvarer sentripetalakselerasjonen (fungerer som sentrifugering i en vaskemaskin).

1.4 Arbeid og energi

Arbeid er et mål for hva slags endring en kraft har ført til. Om en kraft $\boldsymbol{F}$ fører til at et legeme flytter seg en avstand $\Delta\boldsymbol{s}$ er gjennomsnittlig arbeid $W$ utført gitt av skalarproduktet: $W = \boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{s}$ . For rettlinjet bevegelse får vi formelen $W = Fs\cos\theta$ .

Figur 1.6: Sentripetalkraft og sentripetalakselerasjon

Figur 1.7: Arbeid i rettlinjet bevegelse

Arbeid kan lettest forklares med et eksempel: Det er fysisk arbeid å dytte en kasse bortover. Men det er ikke arbeid å bære kassen i armen. Det er fordi kraften fra armene dine virker rett opp, mens tilbakelagt vei vil være null, altså er $\theta = \pi/2$ , og $W = 0$ , fordi $\cos(\pi/2) = 0$ . Så hvorfor blir du da sliten? Det er fordi musklene kjemper mot tyngdekraften for å holde kassen i ro. I dagligtale vil nok dette kunne kalles arbeid, men i fysikken blir det ikke definert som arbeid.

For å finne arbeidet over en strekning som ikke er en rett linje, og med en kraft som varierer, må vi integrere arbeidet langs strekningen. $W$ kan altså defineres som et linjeintegral.

W = \int_{s_1}^{s_2} \boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{r} \tag{1.12}

Totalt arbeid er lik endring i kinetisk energi og potensiell energi. Kinetisk energi er gitt ved formelen:

E_k = \frac{1}{2}mv^2 \tag{1.13}

Arbeidet når en partikkel flytter seg fra A til B blir dermed:

W_{total} = \Delta E_k + \Delta E_p = \frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_B^2 + \Delta E_p \tag{1.14}

1.4.1 Effekt

I mange praktiske situasjoner er det nødvendig å vite hvor fort arbeidet blir utført. Effekt er definert som arbeid pr. tidsenhet:

P = \frac{dW}{dt} = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} \tag{1.15}

$dW$ er arbeidet utført i et lite tidsintervall $dt$ . $\boldsymbol{F}$ er kraften som utfører arbeidet, og $\boldsymbol{v}$ er partikkelens fart.

1.4.2 Potensiell energi

Konservative vektorfelt er felt hvor curlen er null, og hvor linjeintegralet er uavhengig av linjen det blir integrert over, det er kun avhengig av start- og endepunktene. (Dette ble gjennomgått i matte 2.)

I fysikken har vi samme fenomen. Her ser vi på krefter som konservative eller ikke-konservative, hvor vi fokuserer på uavhengighet av vei-egenskapen. For arbeid blir da linjeintegralet forenklet:

W = \int_A^B \boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{r} = E_{p(A)} - E_{p(B)} = -\Delta E_p(\boldsymbol{r}) \tag{1.16}

Funksjonen $E_p$ er potensialfunksjonen til $\boldsymbol{F}$ . Det vil si at:

F(x) = -\frac{dE_p}{dx} \tag{1.17}

Dette er definisjonen på potensiell energi (i én dimensjon), og bør huskes. Det forutsettes at $F$ er konservativ. Eksempler på konservative krefter er krefter der det ikke er friksjon, f.eks. gravitasjonskrefter og magnetkrefter. Potensiell energi:

-\Delta E_p(\boldsymbol{r}) = W = \int_A^B \boldsymbol{F}\,d\boldsymbol{r} \tag{1.18}

Kun forskjell i potensiell energi har betydning. Nullpunkt for potensiell energi kan derfor velges der vi finner det passende.

Ved å regne på forskjellige krefter, kan vi komme fram til at potensiell energi i et tyngdefelt, med nullpunkt i havoverflaten, er gitt som følger:

E_p \approx mgh

For en fjærkraft $F = -kx$ :

E_p = \frac{kx^2}{2} \tag{1.19}

Disse formlene kan være greie å huske, men kan også utledes enkelt om man husker Newtons gravitasjonslov og definisjonen på fjærkraft. (Og hvis man kan integrere.)

1.5 Energibevarelse

Så lenge alle krefter på en partikkel er konservative (dvs. ikke friksjon o.l.) er mekanisk energi bevart for partikkelen.

Eksempel 1.5.1

Vi skal sende en kule ned et skråplan, som vist på figur 1.8. På bunnen av dette skråplanet er det en loop. Det er ingen friksjon i banen, og det er heller ingen luftmotstand eller andre ikke-konservative krefter. De eneste kreftene på kulen er normalkraften (sentripetalkraften) $F$ inn mot sentrum i sirkelen hele tiden. Tyngden peker alltid loddrett nedover, uansett om vi er i loopen eller ikke. Loopen er sirkelformet, med radius $R$ . Hva er den minste høyden $h$ som gjør at kulen kommer rundt loopen? Anta at kulen er punktformet. Kula ruller ikke, den har derfor ingen rotasjonsenergi.

En loop — kule på skråplan med sirkelformet loop, krefter i punktene A, B og C

Figur 1.8: En loop

Løsningsforslag: Vi starter med å forenkle problemet litt. Velger positiv y-retning loddrett nedover og positiv x-retning vannrett mot høyre på figur 1.8. Vi ser at i punktene B og C på figur 1.8 trenger vi ikke å operere med vektorer. I B er Newtons 2. lov slik:

F + mg = ma

Siden kulen beveger seg i sirkel, vet vi at dens akselerasjon er sentripetalakselerasjonen. Vi har da:

F + mg = \frac{mv^2}{R}

Kreftene og akselerasjonen peker begge loddrett nedover, derfor er alle fortegnene positive. Vi løser med hensyn på v og får:

v^2 = \frac{FR}{m} + gR

Når kulen akkurat går rundt, er farten i B så liten som overhodet mulig, akkurat nok til at kulen opprettholder sirkelbevegelsen. Siden $F$ aldri er negativ (normalkrefter trekker aldri legemer mot underlaget), blir $F_{\min} = 0$ som gir:

v_{\min}^2 = gR \quad \text{eller} \quad v = \sqrt{gR}

Vi vet at energien er bevart. I en høyde $y$ over bakken er den:

E = \frac{1}{2}mv^2 + mgy

I punktet A er farten null (vi dytter ikke i gang kulen), noe som gir:

E_A = mgh

I punktet B er $y = 2R$ og $v^2 = gR$ . Dette gir:

E_B = \frac{1}{2}m(gR) + mg(2R) = \frac{5mgR}{2}

Om vi nå setter $E_A = E_B = E$ , ser vi at:

mgh = \frac{5mgR}{2}

Vi løser dette og får:

h = \frac{5R}{2}

Til slutt ser vi på hva skjer i punktet C. Hvis vi tenker oss at kulen er vogn i en berg- og dalbane, så er bunnen av loopen der vi føler sterkest påkjenning. Her er $y = 0$ , så $E = \frac{mv^2}{2}$ . Siden mekanisk energi er bevart, er også $E = mgh = \frac{5mgR}{2}$ . Setter vi disse lik hverandre og løser med hensyn på $v$ , får vi at $v^2 = 5gR$ . Vi tar en liten kikk på Newtons 2. lov i punktet C og finner:

F - mg = \frac{mv^2}{R}

Vi setter inn for $v^2$ og løser med hensyn på $F$ , noe som gir $F = 6mg$ . Summen av kreftene i punktet C blir dermed $\sum F = 6mg - mg = 5mg$ . Som forklart i kapittel 1.3, så vil passasjerer i berg- og dalbanevognen føle som om de er blitt fem ganger tyngre. På en annen måte kan vi si at de blir utsatt for 5G.

1.6 Moment, impuls og massesenter

1.6.1 Moment

Moment er bevegelsesmengde. Bevegelsesmengden er gitt ved en vektor og er definert som masse ganger fart. Loven om momentets bevarelse er en av de viktigste innen mekanikk. Den gjelder alltid, uansett om noe er påvirket av konservative eller ikke-konservative krefter. Det er spesielt nyttig når man analyserer støt. Moment:

p = m\boldsymbol{v} \tag{1.20}

Det er en meget nær sammenheng mellom nettokraften som virker på en partikkel og dens moment:

\sum \boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a} = m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \frac{dm\boldsymbol{v}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{p}}{dt} \tag{1.21}

Loven om momentbevarelse

Om summen av kreftene på en partikkel eller en samling partikler er null, er partikkelens eller partikkelsamlingens moment konstant.

\sum \boldsymbol{F} = 0 \implies \boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} = \text{konstant} \tag{1.22}

Hvis man har med en partikkelsky å gjøre, bytter man ut $m$ med skyens totale masse og $v$ med skyens hastighet i massesenteret.

Massesenter er kjent fra matematikken. Hvis du f.eks. tar en stiv plate og stiller den slik at den balanserer på spissen av en nål, har du plassert nålen i massesenteret.

Å finne massesenteret (tyngdepunktet) er i utgangspunktet kjent fra matte 2, men vi tar en liten repetisjon. Vi antar at legemet har masse $M$ og er tredimensjonalt. Det har massetetthet $\delta$ som er en funksjon av $x$ , $y$ og $z$ . Vi beregner massesenterets $x$ -, $y$ - og $z$ -koordinater ut fra et selvvalgt origo.

x = \frac{1}{M}\iiint x\,\delta(x,y,z)\,dV \tag{1.23a}

y = \frac{1}{M}\iiint y\,\delta(x,y,z)\,dV \tag{1.23b}

z = \frac{1}{M}\iiint z\,\delta(x,y,z)\,dV \tag{1.23c}

Disse formlene er ment som en påminnelse. Om dere har glemt hvordan disse brukes, er det på tide med litt repetisjon fra matematikken.

1.6.2 Impuls

Tidligere ble det sagt at momentet var bevart hvis summen av ytre krefter på systemet var null. Hva skjer om dette ikke er tilfellet?

Da har vi et begrep som heter impuls. Impuls, $\boldsymbol{J}$ er en endring i bevegelsesmengde og har også samme benevning, Ns eller kgm/s.

Impulsens betydning kan beskrives slik: Hvis systemet blir utsatt for ytre krefter over en periode $\Delta t$ , gir impulsen momentendring i systemet.

\boldsymbol{J} = \int \sum \boldsymbol{F}\,dt = \sum \boldsymbol{F}_{snitt}\Delta t \tag{1.24}

$\sum \boldsymbol{F}$ er de ytre (tidsvarierende) kreftene med snittverdi $\sum \boldsymbol{F}_{snitt}$ som virker over det begrensede tidsrommet $\Delta t$ .

Hvis systemet blir utsatt for en ytre kraft (får en impuls) blir dermed ny bevegelsesmengde:

\boldsymbol{p}_{ny} = \boldsymbol{p}_{gammel} + \boldsymbol{J} \tag{1.25}

Eksempel 1.6.1 (Ballistisk pendel)

En ballistisk pendel er et enkelt apparat man kan beregne en kules fart på. Apparatet består av en pendel med masse $M$ opphengt i en snor. En kule med masse $m$ skytes inn i pendelen slik at den blir sittende fast. Pendelen begynner å svinge, og når en makshøyde $h$ . Hva var kulens fart $v$ i det den traff pendelen, uttrykt ved $m$ , $M$ , $g$ og $h$ ? Se tilhørende figur 1.9.

Figur 1.9: Ballistisk pendel

Løsningsforslag: Denne situasjonen er et støt. Kan vi anta at all den mekaniske energien i kulen er blitt bevart? Nei. Siden kulen trenger inn i pendelen og blir sittende fast, må noe av energien ha gått med til å deformere pendelen. Så noe mekanisk energi har gått tapt. Men bevegelsesmengden er i alle fall bevart for systemet kule-pendel.

Bevegelsesmengden før kollisjonen er gitt ved $p_{fr} = mv$ siden kun kulen beveger seg. Etter kollisjonen får pendelen en fart på $v_p$ . Bevegelsesmengden er nå $p_{etter} = (M + m)v_p$ , siden pendelen har fått kulens masse i tillegg til at den har beholdt sin egen. Siden bevegelsesmengden er bevart, setter vi $p_{fr} = p_{etter}$ og får i det kulen treffer pendelen:

v_p = \frac{m}{m + M}v

Pendelen har nå energien:

E_k = \frac{1}{2}(m+M)v_p^2 = \frac{m^2}{2(m+M)}v^2

Etter at pendelen har begynt å bevege seg regner vi med at det ikke er luftmotstand eller friksjon i snoren. I så fall er den mekaniske energien bevart fra nå av. Når pendelen er på sitt høyeste, har den ingen fart og følgelig null kinetisk energi. Dens potensielle energi er i dette tilfellet $(m+M)gh$ . Når pendelen er på sitt laveste, har den kun kinetisk energi og ingen potensiell energi. Den kinetiske energien $E_k$ regnet vi ut i stad. Vi setter disse to energistørrelsene lik hverandre (energien er bevart) og får:

\frac{m^2}{2(m+M)}v^2 = (m+M)gh

som gir:

v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}

1.6.3 Rakettbevegelse

Rakettbevegelse er et eksempel på praktisk bruk av loven om bevaring av bevegelsesmengde. En rakett fungerer ved at man slynger masse ut bak raketten, noe som tvinger raketten til å gå forover. Se figur 1.10.

Det er to viktige parametere i en rakett. Det er utgangsfarten på avgassene som blir slynget ut bak, $u_{av}$ (målt i forhold til raketten) og hvor fort massen blir slynget ut, dvs. endring i rakettens masse, $dm/dt$ . Rakettens masse er dermed en funksjon av tiden. Det er også greit å vite rakettens startmasse, $m_0$ .

La oss se på situasjonen i et lite tidsintervall $\Delta t$ . I løpet av dette tidsrommet blir en liten masse $\Delta m$ slynget ut bak, og raketten endrer sin hastighet med $\Delta v$ . Vi regner med at $u_{av}$ er konstant i dette tidsrommet. Vi må huske at rakettens fart måles i forhold til bakken.

Rakettens bevegelsesmengde er i utgangspunktet $p_{fr} = mv$ (målt fra bakken), der $m$ er rakettens momentanmasse. Etter tiden $\Delta t$ er bevegelsesmengden til raketten (fortsatt sett fra bakken):

p_{etter} = p_{gasser} + p_{rakett} = \Delta m(v - u_{av}) + (m - \Delta m)(v + \Delta v)

der $v - u_{av}$ er avgassenes fart sett fra bakken og $v + \Delta v$ er rakettens fart sett fra bakken. Raketten har mistet massen $\Delta m$ , mens avgassene har denne massen. Vi setter $p_{fr} = p_{etter}$ og får:

mv = \Delta m(v - u_{av}) + (m - \Delta m)(v + \Delta v)

som gir:

mv = \Delta mv - \Delta mu_{av} + mv + m\Delta v - \Delta mv - \Delta m\Delta v

Vi antar at $\Delta m\Delta v \approx 0$ og ordner litt på uttrykket. Da forenkles likningen ovenfor til:

m\Delta v + \Delta mu_{av} = 0

Vi deler på $\Delta t$ på begge sider og får:

m\frac{\Delta v}{\Delta t} + \frac{\Delta m}{\Delta t}u_{av} = 0

Vi lar $\Delta t \to 0$ og ender opp med:

-u_{av}\frac{dm}{dt} = m\frac{dv}{dt} = ma

Vi gjenkjenner venstresiden av likningen som den tidsderiverte av bevegelsesmengden til avgassene. Vi har nå kommet fram til Newtons 2. lov. Kombinert med Newtons 3. lov (kraft er lik motkraft) får vi at raketten dytter på avgassene og avgassene dytter på raketten, slik at begge akselererer vekk fra hverandre. Det er betryggende å vite at vi har fått et svar i overensstemmelse med Newton.

En rakett med 3D-koordinatsystem, avgasser og fartsvektorer u_av og v

Figur 1.10: En rakett. For systemet "avgasser + rakett" er $\sum F_{ytre} = 0$

Vi foretar en liten omskrivning av likningen ovenfor og får:

\frac{1}{u_{av}}\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{m}\frac{dm}{dt} \tag{1.26}

Nå er det på tide å trekke inn litt høyere matematikk. Det viser seg at:

\frac{d\ln m}{dt} = \frac{1}{m}\frac{dm}{dt} \tag{1.27}

når $m$ er en funksjon av tiden. Dette ligner ganske mye på høyresiden i 1.26. Vi setter 1.27 inn på høyresiden i 1.26 og får:

\frac{1}{u_{av}}\frac{dv}{dt} = -\frac{d\ln m}{dt}

noe som blir:

\frac{d}{dt}\!\left(\ln m + \frac{v}{u_{av}}\right) = 0

Integrasjon gir:

\ln m = -\frac{v}{u_{av}} + C

Fra initialbetingelsen $m(0) = m_0$ får vi at:

\ln m = -\frac{v}{u_{av}} + \ln m_0

som gir:

v = u_{av}\ln\frac{m_0}{m} \tag{1.28}

Likning 1.28 er den fundamentale likningen i rakettdesign. Det er viktig å merke seg at $m$ er en funksjon av tiden, så vi må hele tiden vite $m$ for å finne rakettens fart. $u_{av}$ kan også endre seg med tiden, men likningen blir fortsatt den samme. Det blir bare flere ting å holde styr på.

Om du har klart å forstå hele delkapittelet om raketter, kan du klappe deg selv på skulderen. Har du forstått dette, kan du stort sett alt som er verdt å vite om bevegelsesmengde og impuls. Om du ikke har forstått det, er det ingen grunn til bekymring. Dette virker som gresk på de aller fleste første gang de leser det. Les det en gang til og se om du ser lyset.

Vil du lese videre?

Smakebiten stopper her. Få tilgang til alle 14 kapitlene i Fysikk med eksamensrettede oppgaver og løsningsforslag.