Forord

Trykking og utvikling av læreheftet er gjort mulig av boksponsoren for din linje. Vi håper du setter pris på sponsorens generøsitet og interesse i deg som student.

Læreheftet er et sammendrag av pensum i Fluidmekanikk og gir en innføring i de mest grunnleggende elementene. Pensum kan variere, og det er derfor opp til hver enkelt å vurdere hvilke kapitler som er mest aktuelle. Læreheftet er et eksamensrettet supplement, og er ikke ment som erstatning for lærebok eller undervisning.

For å gjøre det bra i fluidmekanikk, er det viktig å regne mange oppgaver. Vi håper at læreheftet hjelper deg raskt i gang med dette. I tillegg til repetisjon kan læreheftet med fordel brukes som forberedelse til forelesning eller øving. Det er derfor satt av sider for egne notater.

Finner du feil eller dårlige forklaringer i læreheftet, send gjerne en mail til post@lumenia.no, så vil vi raskt følge opp med oppdateringer.

Lykke til med eksamen!

Forfattere:
Ingvild Bakke Fagereng
Ann Myhrer Østenby
Anita Sengebusch
Iver Bakken Sperstad

1. Introduksjon til fluidmekanikk

I kapittel 1 introduseres kort en rekke ulike temaer og sammenhenger innen fluidmekanikken. En del av dette er orienteringsstoff, og det er ikke så mye som er direkte eksamensrelevant, men begrepene som defineres her danner grunnlaget for hele resten av heftet. I første omgang kan det derfor lønne seg å bare skaffe seg en oversikt, for så siden bruke kapittelet til oppslag når det er nødvendig.

1.1 Innledende bemerkninger

Fluidmekanikk er et omfattende fag. Først skal vi se på hva vi kommer til å lære i løpet av dette kurset ved å dele opp faget i to hoveddeler:

Fluidstatikk, som omhandler fluider i ro (kapittel 2)
Fluiddynamikk, som omhandler fluider i bevegelse (kapittel 3–7)

Dette er et innledningskurs i fluidmekanikk, så det er verdt å merke seg at alt som gjennomgås her er forenklinger av den langt mer kompliserte generelle teorien.

1.2 Hva er et fluid?

Fluider er formelt sett definert som materie som ikke kan motstå skjærspenning ved statisk deformasjon. Skrevet litt mer forståelig så betyr det at et fluid vil forme seg etter beholderen det befinner seg i. Dette innbefatter alle væsker og gasser, og det sier seg derfor selv at det er en helt utrolig mengde stoffer som går under denne definisjonen. I dette faget går det vanligvis klart fram om det er en væske eller en gass vi har med å gjøre. I disse fagene antar vi alltid at fluidet kan betraktes som et kontinuum, dvs. at de enkelte fluidpartiklene ligger så tett at vi uten problemer kan beskrive dem med kontinuerlige funksjoner og differensialregning.

1.3 Dimensjoner og enheter

I fluidmekanikk har vi fire såkalte primære dimensjoner: masse, lengde, tid og temperatur, og en rekke sekundære dimensjoner. Kraft er den viktigste av disse, og den uttrykkes ved hjelp av primære dimensjoner gjennom Newtons andre lov:

\sum \vec{F} = m\vec{a} \tag{1.1}

En enhet er en måte å knytte et tall til en dimensjon, for eksempel er lengde dimensjonen, mens centimeter eller inches kan være enheten.

Mye av dette regner vi som kjent fra andre fag; derfor nøyer vi oss med å si at det er viktig at du hele tiden husker på å være konsekvent med enhetene du bruker i formlene. Det enkleste er å alltid bruke SI-enheter, slik det er gjort i dette heftet. Det vil si at enhetene stort sett er kombinasjoner av kilo, meter og sekund. Nedenfor er en oversikt over SI-enhetene for de mest brukte størrelsene i fluidmekanikk, samt noen nyttige størrelser fra mekanikk som repetisjon. Størrelsene defineres ikke her, men det kan være lurt å gå tilbake og slå opp i denne tabellen senere.

Størrelse	Symbol	SI-enhet
Lengde	L	m
Hastighet	V	m s⁻¹
Akselerasjon	a	m s⁻²
Massetetthet	$\rho$	kg m⁻³
Volumstrøm	Q	m³ s⁻¹
Kraft	F	kg m s⁻²
Trykk, spenning	p, $\tau$	kg m⁻¹ s⁻²
Arbeid, energi	W, E	kg m² s⁻²
Effekt	P	kg m² s⁻³
Dreiemoment	M	kg m² s⁻²
Viskositet	$\mu$	kg m⁻¹ s⁻¹
Kinematisk viskositet	$\nu$	m² s⁻¹

Tabell 1.1: SI-enheter for størrelser i fluidmekanikk

1.4 Egenskaper ved strømninger

Når vi blir konfrontert med et problem i fluidmekanikk, vil løsningen ofte bestå av egenskapene til fluidet (som hastighet, trykk, massetetthet osv.) som funksjon av tid og sted. Tilnærmingen er dermed ikke å betrakte de enkelte fluid-partiklene som beveger seg, men heller å betrakte hele fluidet som sådan.

Den kanskje viktigste egenskapen til enhver strømning er hastighetsfeltet:

\vec{V}(x,y,z,t) = u(x,y,z,t)\,\hat{i} + v(x,y,z,t)\,\hat{j} + w(x,y,z,t)\,\hat{k} \tag{1.2}

Denne formuleringen for å beskrive strømningen kommer vi til å få bruk for både titt og ofte. Så legg deg den på minne, først som sist. I tillegg kommer vi til å bruke ordet hastighetsprofil for det todimensjonale hastighetsfeltet i et tverrsnitt av for eksempel et rør eller en kanal (se figur 1.2).

Videre skiller vi mellom stasjonære strømninger og ikke-stasjonære strømninger: For en stasjonær strømning er hastighetsfeltet (1.2) tidsuavhengig; strømningsbildet endrer seg ikke med tiden. Dette vil være tilfelle i de aller fleste anvendelser i dette faget.

I tillegg kommer vi ofte til å anta inkompressible strømninger: Dette betyr ganske enkelt at fluidet ikke kan komprimeres, og massetettheten er altså konstant. Inkompressibilitet omtales oftest som en egenskap ved fluidet, og væsker er så å si alltid inkompressible. For høye hastigheter (dvs. større enn ca 30 % av lydhastigheten) gjelder derimot ikke dette for luft eller andre gasser. I dette faget benyttes for det meste inkompressible fluider.

1.5 Termodynamiske egenskaper ved et fluid

I fluidmekanikk er det viktig å ha litt grunnleggende kunnskap om termodynamikk i bakhodet. De termodynamiske egenskapene trykk $p$ (enhet: pascal, Pa = N/m²), massetetthet $\rho$ ("rho"), og temperatur $T$ (enhet: kelvin, K) brukes ofte. Pass spesielt på at du konverterer fra grader celsius før du putter temperaturen inn i formler: $K = {^\circ}C + 273{,}16$ .

Den ideelle gasslov gir sammenhengen mellom disse egenskapene (for idealiserte gasser), og er relevant i en rekke oppgaver (eksempel på bruk kommer bl.a. i kapittel 2.2):

p = \rho R T \tag{1.3}

Her er $R \approx 287 \frac{\text{m}^2}{\text{K}\cdot\text{s}^2}$ den universelle gasskonstanten. Med det samme kan vi definere spesifikk tyngde $\gamma$ ("gamma"), som er vekten til fluidet per volumenhet:

\gamma = \rho g \tag{1.4}

Denne forkortingen kan du støte borti enkelte ganger. Tilsvarende kan du en sjelden gang få bruk for forkortelsen SG ("Specific Gravity"), som er forholdet mellom fluidtettheten og en referansetetthet:

SG = \frac{\rho}{\rho_{\text{ref}}} \tag{1.5}

Vanligvis sammenligner en med referansestoffene vann eller luft, og det kan i alle tilfeller være kjekt å vite at $\rho_{\text{vann}} \approx 1000 \text{ kg/m}^3$ og $\rho_{\text{luft}} \approx 1.2 \text{ kg/m}^3$ . Disse verdiene, og de fleste tabellverdier for øvrig, er oppgitt for trykk 1 atm = 101,3 kPa og temperatur 20°C.

1.6 Viskositet og skjærspenning

Spenning $\tau$ ("tau") kan du tenke på som en generalisert trykkstørrelse. Enheten er den samme, N/m², og det er et mål på kraftfordeling per areal inni et materiale. I motsetning til den skalare $p$ har den såkalte spenningstensoren ni komponenter, hvorav skjærspenningen $\tau_{ij}$ virker parallelt med materieflaten. Denne forklaringen blir ikke helt formelt tilfredsstillende, men enten kan du begrepet fra f.eks. mekanikk, eller så gir dette kapittelet tilstrekkelig bakgrunn til å løse oppgavene i faget og for å forstå viskositetsbegrepet som vi snart kommer til. Vi definerer først skjærspenningen ved kreftene den gir opphav til:

dF_j = \sum_i \tau_{ij} \cdot dA_i \tag{1.6}

Det betyr at første indeks $i$ viser til orienteringen av flaten som komponenten er assosiert til, mens andre indeks $j$ viser hvilke retninger skjærkomponenten er assosiert til. Dette vises mer tydelig på figur 1.1.

Figur 1.1: Komponentene til spenningstensoren på et kubisk fluidelement

Her er det brukt kartesiske koordinater, men konseptet virker selvfølgelig like godt for f.eks. sylinderkoordinater.

Dersom materialet er et såkalt newtonsk fluid, vil strømningsmotstanden som skjærspenningen er uttrykk for være avhengig av hastighetsfeltet:

\tau_{ij} = \mu \left[\frac{dv_i}{dx_j} + \frac{dv_j}{dx_i}\right] \;; \quad i \neq j \tag{1.7}

Proporsjonalitetskonstanten i denne formelen er viskositeten, $\mu$ ("my"), og denne materialspesifikke størrelsen er et mål på intern friksjon i fluidet, dvs. hvor seigtflytende det er. Enheten er $\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}$ . Såkalte ikke-newtonske fluider følger ikke den lineære relasjonen ovenfor, men disse er da heller ikke pensum. Derfor antar vi heretter alltid at fluidet er newtonsk, og nøyer oss med å nevne noen eksempler på de som ikke er det: blod, tannkrem og plastikk.

Stort sett greier det seg for vårt bruk å anta kun en hastighetskomponent $u(y)$ , og da er skjærspenningen mellom fluidet og en flate det strømmer langs (se figur 1.2) gitt ved

\tau = \mu \frac{du}{dy} \tag{1.8}

Helt inntil platen vår vil friksjonen gjøre at fluidet står stille. Dette kalles en heftbetingelse. I en viss avstand fra veggen vil hastigheten øke gradvis, inntil fluidet evt. når sin faste flythastighet. Området der hastigheten varierer, kalles grensesjikt.

Grunnen til at fluidet i nærheten av veggen står stille er at molekylene som er nærmest vekselvirker (via elektriske krefter med kort rekkevidde) med molekylene ytterst i veggen. Dette beskrives matematisk slik:

\vec{V}_{\text{vegg}} = \vec{V}_{\text{fluid}} \tag{1.9}

En tilsvarende formel finnes også for temperatur. Begge formlene er eksempler på grensebetingelser.

Figur 1.2: Lineær hastighetsprofil: Couette-strømning

Vi skiller mellom dynamisk viskositet og kinematisk viskositet. I dette delkapittelet har vi hittil snakket om dynamisk viskositet $\mu$ . Kinematisk viskositet, $\nu$ ("ny"), er uttrykt ved:

\nu = \frac{\mu}{\rho} \tag{1.10}

der $\rho$ er tettheten til fluidet. Dette er altså bare viskositet per massetetthet, og omskrivingen benyttes i mange av formlene i fluidmekanikk.

Eksempel — Skyvekraft på plate

En lang kanal (se også fig. 1.2) med bredde $b = 20\text{ cm}$ er fylt opp til en høyde $h = 5\text{ cm}$ med glyserin, som har en massetetthet $\rho = 1250\text{ kg/m}^3$ og kinematisk viskositet $\nu = 1.2 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2\text{/s}$ . En plate med lengde $L = 50\text{ cm}$ flyter på glyserinlaget, og når vi skyver den i gang til en hastighet $V = 1\text{ m/s}$ , oppgis det at fluidet får en (endimensjonal) hastighetsprofil $u = u(y) = \frac{V}{h} \cdot y$ . Hvor stor kraft må vi skyve med for å opprettholde bevegelsen til platen?

Plate som flyter på viskøst fluid mellom to vegger

Løsningsforslag:

Fra det forgående avsnittet (eller kjent fra andre fag) finner vi at skjærkraften som virker fra fluidet på platen gis ved $\vec{F} = F_x \hat{i}$ , der:

F_x = \int \tau_{yx}\,dA = \tau_{yx} A = \tau \cdot Lb

Skjærspenningen mellom fluidet og platen kan beregnes:

\tau = \mu \frac{du}{dy} = \mu \frac{d}{dy}\!\left[\frac{V}{h}\,y\right] = \frac{\mu V}{h}

I tillegg trenger vi den dynamiske viskositeten til fluidet:

\nu = \frac{\mu}{\rho} \Rightarrow \mu = \rho\nu = 1250\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 1.2 \cdot 10^{-3}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}} = 1.5\,\frac{\text{kg}}{\text{ms}}

Kombineres disse opplysningene får vi en tallverdi for den nødvendige skyvekraften:

F = \frac{\mu V L b}{h} = \frac{1.5\,\frac{\text{kg}}{\text{ms}} \cdot 1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0.5\,\text{m} \cdot 0.2\,\text{m}}{0.05\,\text{m}} = \frac{1.5 \cdot 0.5 \cdot 0.2\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}}{0.05} = \underline{3\,\text{N}}

naturligvis i positiv x-retning.

Reynoldstallet Re er en dimensjonsløs størrelse som beskriver oppførselen til en strømning, og er ett av uttrykkene der kinematisk viskositet inngår. Tallet er definert ved formelen:

Re = \frac{VL}{\nu} = \frac{\rho VL}{\mu} \tag{1.11}

der $V$ og $L$ er karakteristiske størrelser for henholdsvis hastighet og lengde for den aktuelle strømningen. Å velge feil karakteristisk lengde er en klassisk tabbe på eksamen, så det lønner seg å opparbeide litt erfaring med hva som brukes for ulike problemer. For eksempel er Reynoldstallet i rørstrømning gitt ved:

Re = \frac{\text{gjennomsnittshastighet} \cdot \text{rørdiameter}}{\text{kinematisk viskositet}}

Reynoldstallet kan også tolkes som forholdet mellom tregheten til fluidet og de viskøse kreftene som virker på det, og sier noe om hva som dominerer strømningen. Grovt sett karakteriserer størrelsen på Reynoldstallet strømningen etter følgende skjema:

Reynoldstall	Strømningstype
Lavt Re	Krypende strømning
Moderat Re	Laminær strømning
Høyt Re	Turbulent strømning

Tabell 1.2: Strømningstype basert på Reynoldstall

En krypende strømning er treg og dominert av viskøse effekter, men nevnes ikke stort i dette faget. En laminær strømning varierer jevnt i tid og rom, og kan beskrives relativt enkelt matematisk. En turbulent strømning har derimot hurtige og tilfeldige fluktuasjoner, og kan ennå ikke beskrives teoretisk på en tilfredsstillende måte. Vi behandler disse emnene i større detalj i kapittel 5 og 6.

1.7 Overflatespenning

Overflatespenning er et mål på hvilke krefter som virker i grenseflaten mellom to fluider. Vi definerer overflatekoeffisienten $\Upsilon$ ("ypsilon") som kraften per meter normalt på et snitt i overflaten. For enkelhets skyld behandler vi her bare grenseflaten mellom vann og luft, og for en slik overflate har vi verdien:

\Upsilon = 0.073\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \tag{1.12}

En anvendelse er at overflatespenningen trekker vannoverflaten opp langs kanten på et rør eller kar. Kraften som vannet trekkes opp med langs en slik vegg beregnes enkelt til:

F = L\,\Upsilon \cos\theta \tag{1.13}

der $L$ er omkretsen til kanten (dvs. lengden av snittet i overflaten) og $\theta$ er vinkelen mellom kanten og overflaten (ved kanten).

En annen anvendelse er trykkøkningen inni en såpeboble (eller lignende) med radius $R$ på grunn av spenningen som holder boblen sammen:

\Delta p_{\text{boble}} = \frac{4\Upsilon}{R} \tag{1.14}

1.8 Strømlinjer

Av de fire hovedkonseptene for å visualisere et fluids bevegelse som nevnes i læreboka, går vi her bare inn på strømlinjer. Dette er kurver som over alt tangerer hastighetsvektoren til fluidet på et gitt tidspunkt, og matematisk gir det:

\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w} \tag{1.15}

Figur 1.3: Strømlinjer tangerer hastighetsvektoren

Eksempel — Strømlinjer for et hastighetsfelt

En strømning har hastighetsfeltet gitt ved $u = Ax$ og $v = -Ay$ . Finn en funksjon som beskriver strømlinjene, og skisser disse i strømningsbildet.

Løsningsforslag:

Strømlinjene er definert ved $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$ , som ved innsetting gir:

\frac{dx}{Ax} = -\frac{dy}{Ay} \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{x} = -\frac{dy}{y}

Denne separable differensialligningen integreres opp på begge sider direkte:

\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{dy}{y} \quad \Rightarrow \quad \ln y = -\ln x + C \quad \Rightarrow \quad y = y(x) = e^{C-\ln x} = e^C \cdot x^{-1} = \frac{C_1}{x}

Skisse av hastighetsfeltet (dvs. strømlinjer med forskjellige verdier for $C_1$ ) følger nedenfor:

Vil du lese videre?

Smakebiten stopper her. Få tilgang til alle 9 kapitlene i Fluidmekanikk med eksamensrettede oppgaver og løsningsforslag.